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Gauss-Bonnet-Chern定理的拓扑结构和高维纽结膜的φ映射拓扑场论

吴绍锋  
【摘要】:本论文主要运用段一士教授提出的φ-映射拓扑流理论和SO(N)规范势分解理论讨论拓扑场论,研究Gauss-Bonnent-Chern定理的奇异性拓扑结构,建立了高维膜以及高维纽结膜的拓扑场论。此外,还探讨了两组分超导的拓扑量子力学。 首先,从Chern-Weil理论出发研究了Gauss-Bonnent-Chern定理的奇异性拓扑结构。发现Gauss-Bonnent-Chern形式关于一般规范势和纯规范势之间的第二Chern-Simions拓扑类在规范势分解的结果下完全由平行场的位形决定。由此得到的Gauss-Bonnent-Chern密度可以用φ-映射拓扑流理论表示为δ函数的形式。利用这一结果,本文揭示了描述欧拉示性数三种不同的理论的内在联系,即Gauss-Bonnet-Chern定理,Hopf-Poincare定理和Morse理论三者之间的内蕴关系。并进一步研究了Gauss-Bonnet-Chern定理浸入到任意高维流型中的理论,由此导出了一个新的Hodge对偶张量流。理论证明此张量流中存在膜结构,并得到了多个膜的推广的Nambu作用量和其量子化的拓扑荷。 其次,本文提出了高维纽结的φ-映射拓扑场论。文中利用Chern-Weil理论和一种新的Chern-Weil-like理论构造了一系列Non-Abelian规范场的拓扑不变量。并且证明此拓扑不变量示性高维纽结的广义linking number。这一理论是一维纽结的螺旋度理论的推广。 再次,论文推广了t'Hooft磁单极理论,研究了偶数维空间的广义t'Hooft磁膜问题。基于Gauss-Bonnent-Chern定理构造了新的任意奇阶的t'Hooft张量。由此使偶维空间Georgi-Glashow模型在有限能量条件下获得惟一确定的拓扑低能边界。利用φ-映射拓扑流理论本文建立了高维空间中的对偶磁膜理论。进一步,讨论了闭的磁膜的非平凡位形。用广义't Hooft张量及低能边界构造了non-Abelian规范理论的拓扑不变量。然后用规范势分解理论,证明了此不变量对应零厚度高维纽结膜的广义linking numbers。 最后,论文还研究了两组分Ginzburg-Landau超导中涡旋的动量场。此理论可更明确的描述涡旋的拓扑内部结构,特别是涡旋线在基态共同中心和热分裂,这将使带荷模和中性模分别具有超导和超流特征。此外,本文还建立了热分裂的拓扑分岔理论。


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