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弹性梁方程边值问题

刘喜兰  
【摘要】:本文对弹性梁方程边值问题进行了讨论。首先对简支梁问题给予较为详细的研究,其次对悬臂梁问题也作了一些探讨。 常微分方程边值问题由于其重要的理论价值和物理背景,一直被许多研究者所关注,并取得了丰富的研究成果。近年来,关于弹性梁方程的研究常出现于各种出版物,吸引着许多研究者,其研究主要集中于考察问题的解或正解的存在性和多重性。使用的主要方法有锥上的不动点理论、拓扑度理论和上下解方法等。 本文以参数为主线着重讨论了下面的简支梁问题 {u~(4)(t)+ηu″(t)-ζu(t)=λf(t,u(t)),0t1, u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=0。(1) 关于该问题的研究,已有的结果可归结为两种情形:(ⅰ)单参数情形:η=ζ=0,λ0。(ⅱ)两参数情形:η,ζ≠0,λ=1。关于单参数情形,由于其结构简单,结果相对较多。关于两个参数(η,ζ)的问题研究,已有结果的参数(η,ζ)只能限定于平面上很小的部分。我们知道,在非共振的条件下,(1)所对应的齐次问题的特征线(本部分简称为特征线)起着至关重要的作用。而这些特征线有无穷多条,每条都与其它各条相交,进而把(η,ζ)平面分成无穷多互不相交的部分,这样就给在非共振的条件下讨论(1)的解带来困难。关于三个参数情形,至今未见相关结果报道。本文将对三参数问题进行讨论并克服这些困难。也就是说,在非共振的情形下,根据参数(η,ζ)所在的各个不同范围,详细研究了问题(1)解的存在性、多重性、唯一性、变号解的存在性以及参数对解的影响等。具体来说,首先在η2π~2,ζ≥-η~2/4和ζ/π~4+η/π~21,λ0情形下,考虑了问题(1)的正解存在性。利用不动点指数定理和半序方法,在f(t,u)对u单调和一定的增长性条件下,证明存在λ~*0使得当0λλ~*时(1)至少有两个正解;λ=λ~*时(1)至少有一个正解;当λλ~*时(1)没有正解;利用凹算子在正规锥上极小解存在定理,在f(t,u)增长性条件替换为,f(t,u)对u的凹性条件时,证明存在λ~*0使得当0λλ~*时(1)有唯一的正解,当λ≥λ~*时(1)没有正解。此外还考虑了问题(1)正解的唯一性和解对参数λ的依赖性。其次,在参数对(η,ζ)位于特征抛物线ζ=-η~2/4上且满足条件η2π~2情形下,借助于陈文塬先生[14]和Krasnosel'skii[40]关于算子分解方法,把积分方程解的存在性问题转化为泛函临界点的存在性问题,用临界点理论讨论了问题(1)解的存在性和多重性,得到当λ在不同区间时(1)至少有一个、两个、三个和无穷多个解。最后,在参数对(η,ζ)位于(η,ζ)平面的各种不同位置时,直接利用(1)的变分结构和临界点理论,讨论了(1)解的存在性和多重性,得到当(η,ζ)位于特征


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