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求解非线性演化方程函数展式法的统一

纪峰波  
【摘要】:非线性演化方程的求解问题,特别是求非线性演化方程的精确解,是现代数学和物理学科中一类重要的问题。最近几年,在齐次平衡原则和计算机代数的基础上,利用已知常微分方程的精确解,发展起来的函数展式法是求非线性演化方程精确解的有效方法,可以方便的得到方程的孤波解和周期解。同时,各种修正的扩展的方法也随之发展起来,但由于非线性方程的复杂性,使得得到的许多解的新形式而被误作为新解。 本文首先总结和提出三个一般情形的变系数非线性演化方程,并先对其做统一的变换,然后讨论方程的变换,各种性质和解,并以文献中的变系数方程为例详细说明本文中方法的优越性,尤其在变系数方程化为常系数方程时,变系数方程的解和各种性质可以从常系数方程方便的得到。其次,利用齐次平衡原则,尺度变换和扩展的函数展式法构造的新的解的形式,对辅助方程进行研究,得到修正的扩展的tanh函数法和扩展的F展式法得到的解均只是辅助方程本身的解的变化形式,并以文献求得的Burgers类型方程,Broer-kaup-Kupershmidt方程组,新的Hamiltonian振幅方程和广义Zakharov方程组的解为例说明。因此,扩展的函数展式法与本身的方法是统一的,同时说明本文中的方法对其它的扩展的函数展式法也是完全适用的。


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