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由抛物型偏微分方程描述的系统的控制问题

董旺远  
【摘要】: 自二十世纪六十年代以来,分布参数系统的控制问题一直是控制理论界所关注和研究的核心论题之一,其应用背景很强,理论上也日渐成熟和丰富。由抛物型偏微分方程所描述的控制系统是分布参数系统的一个重要部分,对其研究不仅对数学理论提出更多的挑战,而且也能进一步加深对控制理论的认识。 本文主要研究由抛物型偏微分方程所描述的控制系统的镇定问题,同时也考虑了这类控制系统的精确能控性问题。通过对一类有应用背景的控制系统的能稳性的深入研究,我们发现,对于同一系统的不同平衡点可施加不同的控制使该平衡点成为局部渐近稳定的平衡点。此外,作为本文的一个相关论题,我们还得到了所讨论系统的局部精确能控性的结果。由于本文考虑的系统在不施加控制时都有爆破解,施加控制使其局部能稳或精确能控就显得更有理论意义和应用价值。 在具体研究中,本文采用的是最优控制理论研究中最近几年才出现的新方法和新技术。这主要包括将状态空间分解技术和算子的Riccati代数方程相结合研究有限维反馈控制下系统的渐近性态的方法,以及利用Carleman不等式研究控制系统的能控性的方法。同时还结合了泛函分析和偏微分方程的一些重要工具和手段,这其中包括算子半群、算子的分数幂、算子插值、Sobolev空间理论、偏微分方程的L~p理论和上下解方法等。 与已有的工作相比较,本文主要的特点是在处理系统的镇定问题时,在同一系统的不同平衡点采用不同的控制,其所得的结果不仅进一步完善和发展了分布参数系统的能稳性理论,而且还有明显的应用价值。


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