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测度链上的动力方程边值问题

孙建平  
【摘要】: 边值问题由于其在科学、工程和技术的几乎所有领域都有着广泛的应用而成为测度链上动力方程的一个重要分支。通过研究测度链上的动力方程边值问题不但可以统一微分方程和差分方程理论、更好地洞察二者之间的本质差异,而且还可以为那些有时在连续时间出现而有时在离散时间出现的现象提供精确的信息。同时,在考虑测度链上的动力方程边值问题时人们面临许多困难。例如,微积分中的基本工具诸如Fermat定理、Rolle定理以及介值定理不再成立,一些基本的概念诸如链式法则、乘积公式以及某些光滑性都需要做适当的修正。 本文首先研究了测度链T上的一阶动力方程边值问题 构造了相应的积分算子并证明了其全连续性。对于β=1的情形,通过运用Schaefer、Guo-Krasnoselskii、Schauder、Leggett-Williams不动点定理以及不动点指数理论获得了其解和正解的存在性与多重性结果。对于0<β<1的情形,通过运用Avery-Henderson两不动点定理获得了其至少两个正解的存在性准则。 其次,研究了测度链T上的二阶动力方程边值问题,包括Dirichlet边值问题和Focal边值问题。对于Dirichlet边值问题,在局部和全局条件下分别建立了其至少n个解或正解以及至少一个正解的存在性准则,所用工具为Guo-Krasnoselskii不动点定理和不动点指数理论。与现有工作相比,我们对于非线性项的要求是半正的。对于Focal边值问题,首先考虑了Right-Focal边值问题,通过运用Krasnoselskii-Zabreiko不动点定理获得了其存在性结果。我们施加于非线性项的条件非常容易验证。然后考虑了Left-Focal边值问题系统,与现有工作在本质上不同的是,所考虑问题的解所在的定义区间的右端点σ~2(T)是变化的。在次线性情形,研究了σ~2(T)对于该系统正解的存在性和不存在性的影响,主要工具是不动点指数理论。 最后,运用Schauder不动点定理讨论了测度链T上的一类三阶动力方程边值问题解和正解的存在性。需要指出的是,这种方法也可用来研究测度链T上某些其它高阶动力方程边值问题。


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