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函数展开法及同伦分析法在求解非线性演化方程中的应用

石玉仁  
【摘要】: 近年来,对非线性问题的研究已成为人们关注的热点,非线性科学也在科学技术的各个领域做出了重大贡献。非线性物理是非线性科学的一重要组成部分。许多非线性物理现象都可以用非线性方程来很好地描述,所以得到非线性方程的解具有重要的意义。本论文从两个方面研究了非线性方程的求解。 1.非线性演化方程的精确解 双曲函数展开法是近年提出的一种求解非线性演化方程孤立波解的有效方法。我们讨论了双曲函数展开法,在原有方法的思想基础上提出展开函数应满足的2个条件,扩展为“双函数展开法”。并且,进一步作了改进,使其能够求解一些变系数演化方程和非平面波方程。 Jacobi椭圆函数展开法可用来求解非线性演化方程的周期波解。在原法基础上,我们提出了选择展开函数的一个简单原则。在此原则指导下,又构造出了许多不同的函数,用它们作为展开函数可以得到非线性演化方程的更多精确解。 2.非线性演化方程的近似解析解 在非线性演化方程的解很难甚至无法得到时,可以求其近似解。同伦分析法就是求非线性问题近似解的一种行之有效的方法。我们把这种方法用于求解非线性演化方程的周期解,并且首次用于求解非线性演化方程孤立波的近似解析解,结果表明所得近似解非常接近原方程的精确解。在此基础上,还提出了一种判断近似解近似程度的简单实用的方法。 我们首次用这种方法求解了一不可积系统——KdV-Burgers方程,得到了其2种类型(即单调型激波解和振荡型激波解)行波解的高精度解析解,表明同伦分析法对于求解一些不可积系统仍非常有效。 我们所用的方法,都可以借助计算机代数系统如Maple或Mathematica得以部分甚至完全实现。


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