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线性微分方程边值问题数值求解的多步差分法

李崇民  
【摘要】: 众所周知,很多学科领域中都涉及到常微分方程的边值问题,常微分方程边值问题的求解方法一直受到国内外学者的关注.但是,常微分方程中仅有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解),大部分的方程是求不出初等解的.另外,有一些问题能够得到初等解,但由于解的形式太复杂不便于应用.因此常微分方程数值解法的研究具有重要的现实意义. 求解常微分方程边值问题最有效的方法之一是有限差分法.经典的有限差分法是利用差商代替导数(数值微分)或者积分插值(数值积分)的方法来构造差分格式.为了构造具有较高截断误差阶的差分格式,近年来一些学者提出了利用样条函数或者参数样条函数的方法来近似替代未知函数.通过配置的方法,构造出一些样条差分格式.但高阶数值微分公式和关于高次样条函数的高阶导数的计算都较为困难,同时构造差分格式引起的计算量非常大,有的方法精度并不高,所以这些方法都不能很好地适应高阶微分方程, 本文基于文[8]的思想,对文[8]所提出的差分方法针对阶数为4,5,6的不同微分方程做了进一步的讨论,对6阶微分方程和边值条件给出了相应的差分格式和局部截断误差阶的估计,并对一些参考文献中提出的算例进行了数值试验.通过对比其他方法所得到的结果,可以看出,利用具有最高截断误差阶的差分方程进行计算所得的误差均比其它方法所得误差更小,从而验证了此方法是高效的.


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