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二部图的匹配强迫数

王洪伟  
【摘要】: 设G是有完美匹配的图.若G的完美匹配M的子集S仅包含在唯一完美匹配M中,称S是M的一个强迫集.M的最小强迫集的大小叫做M的强迫数,记作f(G,M).G的所有完美匹配的强迫数的最小值叫做G的最小强迫数,记作f(G),而最大值叫做G的最大强迫数,记作F(G).G的所有完美匹配的强迫数的集合叫做G的匹配强迫数的谱.P.Adams等人表明对最大度是3的二部图,最小匹配强迫集问题是NP-完全的. 图论中的完美匹配相当于有机分子的凯库勒结构,匹配强迫数来源于化学上凯库勒结构的自由度.图论和组合数学中,有多个问题的研究出现了“强迫”的思想,例如图的染色,测地集,拉丁方和区组设计等.近几年来关于完美匹配方面的强迫概念也得到了一定的扩展,提出了全局强迫数,反凯库勒数,反强迫数和强迫六角形等概念. 本论文分七章研究二部图的匹配强迫数问题.我们给出了M.E.Riddle的尾点法改进,并应用于环面六角系统,环面方格图,二部克莱茵瓶六角系统,硼氮富勒烯,矩形方格图和柱面方格图等图类的强迫数求解. Riddle从Hall定理出发,通过建立二部图颜色集的序,给出了强迫数的一个下界.在第二章中,我们改进了Riddle颜色集序的概念和最小强迫数下界的结论,给出标准序的概念,并得到自然数k是二部图的某个完美匹配的强迫数的必要条件,和最小强迫数等于颜色集的所有标准序尾点数最小值的充要条件. 环面六角系统是环面上的3-正则二部图,其每个面都是六角形面.环面六角系统能够由三元组(p,q,t)来表示(p≥1,q≥1,0≤t≤p-1),故记作H(p,q,t).在第三章中,我们用尾点法得到f(H(p,q,t))≥min{p,q},等号成立当且仅当p≤q或pq且t=0,p-1,…,p-q.一般地,我们得到环面六角系统的最小强迫数等于其上可作出的最大三角形的边长.基于此结果,我们设计了一个线性算法来计算H(p,q,t)的最小强迫数. Ridlle曾研究了环面方格图C_(2m)×C_(2n)的最小强迫数.在第四章中,我们对C_(2m)×C_(2n)进行扩充,增加一个旋转参数t,定义了环面方格图S(p,q,t),其中p≥1,q≥1,0≤t≤p-1.与H(p,q,t)是3-正则的不同,S(p,q,t)是环面4-正则二部图.我们得到:当p≤q时,f(S(p,q,t))=2p;当pq且0≤tq,或pq且p-q+1≤t≤p-1时,f(S(p,q,t))=2q;当pq,q≤t≤p-q时,f(S(p,q,t))等于S(p,q,t)上周长最小的特征矩形的半周长加1. 二部克莱茵瓶六角系统也可以由一个六角格子网络L上的平行四边形P通过底边的粘贴来生成,由两个参数p和q确定,记为K(p,q).在第五章我们得到:若p≤q,则f(K(p,q))=p;若qp≤2q,则f(K(p,q))=q;当p2q时,q≤f(K(p,q))≤(?)p/2(?)+(?)q/2(?). 硼氮富勒烯图是含有六个四边形面及若干六边形面的3-正则平面二部图.在第六章中,我们表明了硼氮富勒烯图的最大强迫数与面独立数和共振数都是相等的.利用尾点法,给出了硼氮富勒烯B_(12)N_(12),B_(16)N_(16),B_(22)N_(22),B_(27)N_(27)和B_(28)N_(28)的强迫数,并确定了三类管长任意的戴帽硼氮纳米管的最大强迫数,以及最小强迫数上界. 在第七章,我们给出二部图P_m×P_n的一个匹配强迫集构造方法,得到f(P_m×P_n)的上界,并部分解决了P.Afshani等人提出的一个公开问题,即确定了P_m×C_(2n)的强迫数的谱.


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