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无标度网络和加权网络上的动力学

吴安彩  
【摘要】: 对现实中存在的大量社会、生物、通讯等系统,可以恰当地用复杂网络来描述它们。许多现实网络的一个共同特性是度分布的无标度形式,被称为无标度网络。统计上,这一分布意味着每个节点拥有很大的概率,使它具有比网络的平均度更大的连接数。另一个特性是加权网络,边具有表征现实网络中相互作用大小的不同权值。探讨了这两种连接特性对网络上动力学的影响。 一,研究了无标度网络上具有反馈机制的流行病传播模型。从解析上获得了系统进入稳定流行期的感染态密度的自洽方程ρ(?)2e~(-1/mλ(1-αβ));当传染率λ固定时,感染态密度的倒数与致命性参数α成线性关系。这些结论与均匀网络的极其不同,增加了对复杂网络上具有反馈机制的流行病动力学的了解。同时考察了具有时间延迟的SIS传染病模型,发现传播阈值λ_c与时间延迟τ的关系为λ_c~(τ+)~(-1)。 二,研究了一个带有反应扩散过程的种群模型,一个个体的生灭规则为2A→3A和A→φ.在无标度网络上,利用平均场理论解析得到这一动力学模型具有如下性质:完全随机扩散的情况下,网络的拓扑不能影响临界死亡率,但度的非均匀性导致更小的稳态种群密度和更小的临界种群密度;在调整的扩散策略情况下,可得到更大的临界死亡率和稳态种群密度,以及更低的临界种群密度。因此调整的扩散策略将有利于物种的生存。以上结果被计算机模拟所验证。 三,考察可激的Greenberg-Hastings元胞自动机(Greenberg-Hastings cellular automaton(GHCA))模型在无标度网络以及其它类型复杂网络上的行为。发现最大的动力学域发生在临界点,并进一步指出这一现象为GHCA模型在复杂网络上的普遍行为。由于在无标度网络上度分布存在大的涨落,我们计算了对度为k的节点的平均活跃度F~k(r)和动力学域△~k(p),这两个量F~k(r)和△~k(p)与整个网络的F(r)和△(p)在特性上具有相似性。具有更大的度的节点,它的最大动力学域更大,这一性质有可能被应用在生物实验上来揭示网络的拓扑结构。 四,研究了加权网络上的随机行走。考虑依权重行走和强度行走方式,给出了这两种行走方式的静态分布和平均回归时间的表达式.然后,考察加权网络上的随机行走对边的平均首通时间(mean first passage time (MFPT)).得到从一节点单方向通过某一边的平均首通时间,以及沿任一方向通过某一边的平均首通时间。以上所得的表达式与数值模拟结果相吻合。


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