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图的电阻距离法则和Kirchhoff指标研究

杨玉军  
【摘要】: 连通图G的两个顶点i和j之间的电阻距离r_(ij)定义为用单位电阻来代替G中的每条边后相应构造出的电网络N中节点i和j之间的有效电阻.图G的Kirchhoff指标Kf(G)定义为G中所有点对之间的电阻距离之和. 本文主要研究图的电阻距离和Kirchhoff指标.我们建立了关于电阻距离的一些法则,得到了线性六角形链和三种类型的合成图的Kirchhoff指标计算公式,确定了单圈图和Fullerene图的Kirchhoff指标的界,给出了Kirchhoff指标的一个新的Nordhaus-Gaddum型结论. 全文共分七章.在第一章中,我们首先介绍了本文所需要的基本概念,术语和记号,然后指出本文所研究问题的物理化学背景,进而综述了该领域的研究进展和本文所得到的主要结论. 受Klein的文章[Croat.Chem.Acta 75(2002)633-649]的启发,在第二章中,我们得到了图G的电阻距离的一些法则.设S是图的顶点集的子集,满足S中的所有点在G—S中有相同的邻集N.若|S|=2,3,4,应用这些法则,对应于G|S|的不同情况,我们给出了S中任意两点的电阻距离的简单计算公式,并且这些公式都可以用N的大小表示出来,这表明S中任意两点的电阻距离只依赖于G|S|和N的大小.自然地,一个问题就产生了:是不是当S包含任意多的顶点时这个性质也成立?对这个问题,我们给出了肯定的回答,也就是,我们得到了下面的简化原理:如果S(?)V满足S中的所有顶点在G-S中有相同的邻集N,则S中任意两点之间的电阻距离就等于在G[S∪N]中删除所有连接N中顶点之间的边后所得子图中这两点之间的电阻距离. 在第三章中,首先我们根据Laplacian多项式分解定理得到线性六角形链L_n的Laplacian谱由路P_(2n+1)的Laplacian谱以及一个2n+1阶三对角对称矩阵的所有特征值构成.接着,利用前面所说矩阵的特征多项式的根与系数的关系,我们得到了L_n的根据Laplacian谱得到的Kirchhoff指标的显式计算公式.有趣的是,L_n的Kichhhoff指标渐近于他的Wiener指标的一半.最后,对包含L_n的一类图,我们证明了对这类图中的每个图G都有Kf(G)/W(G)>1/5成立,其中W(G)表示图G的Wiener指标. 设S_n~l是在圈C_l上的任意一个点上加n—l条悬挂边所构成的图.用P_n~l表示将圈C_l的任意一个点和路P_(n-1+1)的一个端点粘接所构成的图.在第四章中,我们得到在所有顶点数为n的单圈图中,(ⅰ)若n<8,则C_n达到最小的Kirchhoff指标;若8≤n<12,则S_n~4达到最小的Kirchhoff指标;若n=12,S_n~3和S_n~4同时达到最小的Kirchhoff指标;否则,S_n~3达到最小的Kirchhoff指标;(ⅱ)P_n~3达到最大的Kirchhoff指标.进而我们给出了单圈图的Kirchhoff指标的紧界. 一个Fullerene图F是一个三连通,三正则平面图,它恰有12个五边形面,其它的面都是六边形.在第五章中,我们得到了平面图,特别是Fullerene图的Kirchhoff指标的界. 令G_1+G_2,G_1oG_2和G_1{G_2}分别表示图G_1和G_2的联,冠和簇.在第六章中,我们得到了这些合成图的Kirchhoff指标计算公式. 一个Nordhaus-Gaddum型的结论是指一个图和它的补图的某个参数的和或者乘积的(紧的)上界和下界.在最近文献[Chem.Phys.Lett.455(2008)120-123]中,周波和Trinajisti(?)给出了Kirchhoff指标的一个Nordhaus-Gaddum型结论.在第七章中,我们给出了Kirchhoff指标的一个新的Nordhaus-Gaddum型结论,改进了前者的工作.


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