几类捕食系统的分支问题与周期解

【摘要】： 本文考虑了几类捕食系统.运用微分方程的定性理论,分支理论和泛函微分方程理论研究其动力学行为,并探讨了系统中参数(如时滞,扩散及非单调功能反应函数等)对其动力学行为的影响,为解释,预测和控制生态学中的一些现象提供相应的理论依据.具体而言,本文做了以下工作. 首先,研究了具有多个离散时滞的二维Lotka-Volterra捕食系统,给出了系统出现Hopf分支的条件;运用规范形理论和中心流形定理,讨论了分支周期解的性质.结果表明,在适当的假设下,即使捕食系统的时滞选取不同,但系统产生Hopf分支的临界时滞参数是相同的.进一步,研究了系统分支周期解的大范围存在性.对于一般的Holling型捕食系统,从理论上证明了只有具有非单调功能反应函数的Holling型捕食系统才会出现退化的Bogdanov-Takens奇点.基于此,我们考虑了同时含有时滞和非单调功能反应函数的捕食系统,研究了系统的Hopf分支和Bogdanov-Takens分支,并给出Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性,同时计算了Bogdanov-Takens分支的普适开折.结果表明,系统在选取不同的参数值时,分别会出现极限环和同宿轨. 其次,考虑具有扩散影响的Leslie型时滞捕食系统.通过分析正常数平衡态处的线性化系统和相应的特征方程,研究了正常数平衡态的渐近稳定性和系统存在Hopf分支的条件.运用偏泛函微分方程的规范形理论和已知的相应结果,讨论空间齐次Hopf分支的性质.特别地,我们研究了扩散对Hopf分支的影响,发现大扩散不影响系统对应的泛函微分方程的Hopf分支,而小扩散可使系统在正平衡点附近分支出空间非齐次的周期解,同时获得了决定空间非奇次Hopf分支的方向以及分支周期解的稳定性的公式. 最后,考虑具有非单调功能反应函数的Leslie-Gower型捕食系统.虽然这类系统中不含时滞,但是由于系统的正平衡点无法显式表出,所以研究系统的动力学行为是比较困难的.我们运用微分方程定性理论讨论了系统的Bogdanov-Takens分支.数值模拟表明,非单调功能反应函数导致系统出现复杂的动力学行为,如随着参数的变化,系统会出现两个极限环共存,或者极限环和同宿轨共存的现象.