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临界点理论在p-Laplacian差分方程中的应用

卞利花  
【摘要】: 本文主要利用临界点理论中的山路引理,环绕定理,Clark定理等,研究了一类具有p-Laplacian算子的差分方程周期解的存在性和一类带参数λ的具有p-Laplacian算子的差分方程周期边值问题的解和正解的存在性. 第一章叙述了问题产生的历史背景和本文的主要工作,并给出了一些预备知识. 第二章讨论了如下p-Laplacian差分方程-△[φp(△x(k-1))]+μa(k)φp(x(k))=f(k,x(k)),k∈Z的周期解的存在性.其中△x(k)=x(k+1)-x(k),常数p1,φp(s)=|s|p-2s,连续函数f关于第一个变元以T为周期,a是以T为周期的正序列.通过建立与此问题等价的变分泛函,把其周期解的存在性转化为此泛函在合适空间的临界点的存在性.首先给出了参数μ=0时上述问题一个周期解和两个非平凡周期解存在的若干充分条件,接下来建立了参数μ=1时一正一负两个非平凡周期解的存在性准则.这里的主要工具是直接方法,山路引理和环绕定理. 第三章考虑了如下带参数λ的p-Laplacian差分方程的周期边值问题-△[φp(△x(k-1))]+q(k)φp(x(k))=λ∫(k,x(k)),k∈[1,T] x(0)=x(T+1),△x(0)=△x(T)多个解以及正解的存在性.其中T≥2是整数,[1,T]表示{1,2,…,T},{q(k)}是正序列.通过建立与其等价的变分泛函并分别运用山路引理,Ricceri定理和Clark定理,得到了当参数λ属于合适的区间时,上述边值问题两个正解,三个解以及T+1对解的存在性结果.最后举例说明了所得结论.


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