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反应扩散方程行波解的定性研究

张平安  
【摘要】: 反应扩散方程在描述时空模式方面发挥着重要的作用,其行波解可以解释自然界中的有限速度传播、有限振动现象等而备受关注.利用行波解描述自然界现象具有很强的现实意义,在行波解存在性基础上的进一步定性分析也是十分重要的.比如相变过程中,状态改变可以被观测到的一个必要条件就是行波解具有稳定性.本文主要对几类反应扩散方程的行波解进行定性分析,研究内容包括唯一性、稳定性以及最小波速等,并探讨这些结果在种群动力学中的应用. 首先,研究了一类具有阶段结构生物模型的行波解.讨论了行波解的指数渐近行为及其影响因素,并证明了行波解是单调的.进一步,利用滑动平面技巧,得到了给定波速下行波解的唯一性结果.作为应用,给出一类传染病模型行波解的性质. 其次,在高维情形下,研究了时空周期单稳反应扩散方程脉冲波前解的唯一性和稳定性.特别的,对于周期环境中的KPP脉冲波前解,唯一性结果给出了波前解完整的分类.全局渐近稳定性是基于构造合适的上下解而得到的,其值与脉冲波前解的平移充分接近.最后证明当时间充分大时,波前解在L∞空间中是全局渐近稳定的.值得指出的是,垂直于传播方向解的一致估计是该类问题的难点. 最后,对于单稳情形,考虑了周期性介质中离散时间递推序列的传播速度.在周期振荡媒介中,当周期趋于无穷大时,给出了传播速度的变分表示.这对于描述此情形下行波解最小波速十分重要.而对于双稳情形,由于构造合适的上下解相当困难,因此首先通过适用于双稳的挤压技术得到全局渐近稳定性,而此结果蕴含了波前解的唯一性.最后建立了双稳波前解的存在性.


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