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非局部扩散方程的行波解和整体解

孙玉娟  
【摘要】: 反应扩散方程理论是现代数学的重要组成部分.经典反应扩散方程中的扩散项是由Laplace算子来体现的,而Laplace算子只能反映空间上的局部作用.事实上,在自然界中,空间上的非局部作用是普遍存在的.例如对一个生物种群来说,它会在较大的空间范围内移动而不仅仅局限在一个小范围内,这就导致了空间上非局部作用的发生.近年来,在生态系统、流行病学,材料科学等领域,人们建立了许多用卷积算子来描述空间非局部作用的扩散方程,称之为非局部扩散方程.然而空间的非局部性不但导致了数学理论研究上的困难,而且引起了许多动力学行为上的本质改变.例如,非局部性可能导致方程不满足最大值原理,解的正则性降低,使得行波解的最小波速增大,行波解不唯一,也可能产生跳跃行波解等.因此,对非局部扩散方程的研究具有重要的理论和实际意义.本论文研究一维非局部扩散方程的行波解和整体解,这里所谓的整体解是指对所有时间t∈R都有定义的解. 本文首先考虑了非迷向单稳型非局部扩散方程的行波解.通常在研究非局部扩散方程的行波解问题时,人们先证明方程行波解的存在性,然后再研究行波解在无穷远处的指数衰减行为,这就要求卷积算子的核函数的性质相当好.为了减弱核函数的条件,我们直接研究指数衰减的行波解的存在性.先将方程行波解的存在性问题转化为一个适当算子的不动点问题.构造合适的上下解,利用上下解方法结合单调迭代技巧来证明指数衰减的行波解的存在性.接着运用活动平面技术证明了行波解的唯一性.进一步地,为了证明行波解的渐近稳定性,我们建立了一系列初值问题的解的性质,并构造了相应的上下解. 其次研究了非局部扩散方程的整体解.因为非局部扩散算子使得解的光滑性降低,为了保证初值问题的解函数序列的收敛性,我们提高了对非线性项函数的要求,使得解函数关于空间变量Lipschitz连续.通过利用两列沿着实轴两端以不同波速相向而行的行波解和空间齐次的解,分别建立了迷向单稳型非局部扩散方程的含五个参数,四个参数及三个参数的新型整体解,并得到了一些相关的性质. 最后,考虑了迷向双稳型非局部扩散方程的整体解.为了构造整体解的需要,首先得到了单调行波解在实轴两端的先验衰减率.通过构造合适的上下解并利用比较原理,得到了整体解的一个二维流形,并证明了该二维流形的唯一性和Liapunov稳定性.


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