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一类带变号Green函数的四阶三点边值问题的正解

张芸  
【摘要】:四阶常微分方程边值问题是和人们生活息息相关的数学模型,例如,弹性梁在平衡状态下两端不同的受力情况可由不同的四阶两点边值问题来描述.人们对四阶边值问题的研究重视已久并且硕果累累.但是,在已有的工作中,所涉及的Green函数几乎是不变号的.本文主要研究非线性四阶三点边值问题其中,f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是连续的并且满足下述条件:(Ⅰ)对任意的x ∈[0,+∞),t→f(t,x)是递减的;(Ⅱ)对任意的t ∈[0,1],x→f(t,x)是递增的.虽然该边值问题相应的Green函数是变号的,但是若对f和η设定一些合适的假设,则仍可获得其正解的存在性.在第二章中,基于不动点指数理论,对于任意的整数n(≥2),证明了上述边值问题至少存在n—1个单调递减的正解.本章中,η ∈(1/3,1),这是保证上述边值问题存在正解时η的最优条件;f需满足条件:(Ⅲ)存在n(≥ 2)个正的常数ri = 1,2,…,n且r1r2…rn,使得(a)f(0,r2i-1)(r2i-1)/H,i=1,...,[(n+1/2)]f(θ,θr2i)r2i/Q,i=1...,[n/2],或者(b)f(θ,θr2i-1)(r2i-1)/Q,i= 1,...,[(n-1/2)]f(0,r2i)r2i/H,i=1,...,[n/2].在第三章中,分别定义了从零函数和正的常函数开始的两个迭代序列,借助锥上的不动点理论和单调迭代技巧,讨论了上述边值问题单调递减正解的存在性.本章中,η ∈((2+3√2-3√4)/3,1),f需满足条件:(Ⅳ)存在正的常数r,使得f(0,r)≤6r;(Ⅴ)存在正的常数σ和μ且σμ≤ση3/2(1-η)3,使得σ(u2-u1)f(t,u2)-f(t,u1)≤μ(u2-u1),0 ≤t≤1,0≤u1≤u2≤r.


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