几类高维神经系统动力学模型的稳定性与Hopf分岔研究

【摘要】：生物神经系统在机体的功能调节过程中有着不可替代的作用。神经系统调控各个器官、系统的功能并使其构成一个统一的整体。其中,神经元(又称为神经细胞)是神经系统结构和功能的基本单元,主要负责生物电信息的编码与传输,该过程涉及到了复杂的非线性活动。神经科学以揭示神经系统电活动的规律与编码机制为最终研究目标,其中又以神经元模型为研究基础。在生物神经系统数学模型研究过程中,观察到了极其复杂的非线性动力学现象。近些年,非线性动力学理论的研究深入为构建神经系统动力学数学模型提供了理论支撑,并进一步以此为基础可以探究神经系统动作电位的发放模式。在实际中,神经系统动作电位的紊乱会导致潜在生理机制的异常和错乱,并进一步表现出神经系统类疾病,如癫痫病、帕金森病等。上述病变现象从非线性动力科学角度看,某些疾病可能与描述神经系统相关微分方程组的生理学参数改变所诱导的分岔现象相关。因此,进一步研究神经系统的分岔现象可能从理论上为生理学疾病的治疗提供思路。本篇文章的主要内容如下:1.对非线性动力学、生物神经动力学的研究目的意义及研究现状进行了综述。然后对文中涉及到的非线性动力学理论、生物神经系统相关基础知识及常见神经动力学模型进行了简述,具体包括分岔概念、稳定性理论、Hopf分岔理论、中心流形定理等相关基础知识。进一步,将高维系统通过降维转化为低维系统,然后推导出高维Hopf分岔理论。2.以一类弱电鱼椎体神经元细胞Ghostburster模型为基础,首先通过计算得到该系统的平衡点,通过分析平衡点附近模型对应的特征值讨论其稳定性。然后利用Hopf分岔存在理论探讨了系统Hopf分岔的存在性,并且使用Hopf分岔分析方法得到了模型发生Hopf分岔的方向及分岔周期近似解和近似周期。最后利用Matlab等数学软件给出了理论分析对应的数值模拟结果,选取树突膜钾离子电流最大电导和胞体膜注入电流等作为相应的分岔参数,探究了系统在单参数变化下丰富的动力学现象。3.以电突触耦合的FHN-ML神经元系统为基础,首先确定了系统平衡点的个数并研究了平衡点附近的局部稳定性。利用Hassard等人的中心流形降维方法,证明了系统Hopf分岔的存在性,确定了Hopf分岔的方向,并给出了周期解与近似周期。最后,利用Matlab、C语言等数据计算处理软件,对系统单个参数变化下的分岔及动力学行为进行了研究,验证了外界刺激对神经系统模型的干扰作用。因此,将生理参数控制在某些范围内,可能使该神经元系统进入稳定状态,避免出现不必要的震荡现象。