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基于优化方法重构二阶波动方程的势函数

解金鑫  
【摘要】:由于现代生产生活的实际需要及各研究领域中的迫切要求,人们对偏微分方程反问题的探讨日益增多,已成为现代数学中的热门研究方向.本文主要研究了基于优化方法重构波动方程势函数的反问题,接着研究了在优化方法的基础上,利用全变差正则化方法重构退化抛物型方程初值的逆时问题.这一研究在图像处理、地球物理、医学研究、金融衍生品定价等领域中有重要应用.对重构波动方程势函数的反问题而言,该问题有两个主要困难:一、极值原理不再成立;二、终端观测值不仅包含位移,还包含了终端时刻的速度.值得注意的是,共轭方程中位移与速度的位置恰好相反,这一点与抛物情形是完全不同的.而对第二个问题,该数学模型的退化性导致边界条件的缺失,且其控制泛函带有~1L罚项,具有不可微性.为了克服这一难点,文中采用具有较好边缘保持能力的全变差正则化方法,引入磨光全变差正则化惩罚函数项来处理,并运用数值实验验证了理论结果的正确性.本文主要基于优化方法,着重讨论最优控制问题解的存在性、唯一性和稳定性.本文主要由以下四个章节组成:第一章,该章节主要为绪论部分,说明了偏微分方程的研究背景、研究意义及国内外研究现状.主要对波动方程及退化抛物型方程的反问题展开说明,并阐述本文主要的研究内容.第二章,主要研究一类重构波动方程势函数的反问题.基于优化方法,利用终端观测数据进行反问题研究,且该数据不仅包含终端时刻的位移,还包括终端时刻的速度.文中将波动方程势函数的重构问题转为最优控制问题,从最优控制角度出发,建立控制泛函.最终证明了最优解的存在性、局部唯一性和稳定性.第三章,主要研究了一类重构退化扩散驱动下抛物型方程初值的逆时问题.基于优化方法,将重构退化抛物型方程初值的逆时问题转为最优控制问题进行研究.引入磨光全变差正则化惩罚函数项,利用全变差正则化方法重构初值.首先建立最优解的存在性,推导退化抛物型方程所需变分不等式的必要条件.其次证明局部解的唯一性和稳定性.最终进行正问题数值模拟,利用Gradient型迭代算法反演初值.第四章,该章节主要阐述的内容为总结与展望,对本文工作进行了简单小结和进一步展望.后续研究主要从三方面进行考虑:首先,本文对一维偏微分方程反问题进行研究,今后可以研究高维情形,并尽可能将其应用到实际生产生活领域当中.其次,可以寻找并采用更为有效、简便、先进的算法对其进行数值求解.最后,本文所考虑的工作均是线性偏微分方程,还可以考虑将更多具有实际应用意义的非线性偏微分方程的相关工作纳入后续研究当中.


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