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非线性物理中的孤波研究

洪学仁  
【摘要】: 物理学从本质上是非线性的.孤子理论、混沌理论、分形理论和耗散结构理论是整个非线性物理的基础.孤波是非线性物理研究的热门课题之一。 本论文运用约化摄动法分别研究了非线性弦振动、等离子体物理、血液流动和非线性电路传输线等领域中的孤波现象。 论文第三章运用变分原理得到了非线性弦振动方程:u_(t)-2a~2u_xu_(xx)-2μu_(xxxx)=0。其中u_(tt)对应于动能,U_(x)U_(xx)对应于拉伸形变势能,U_(xxxx)对应于弯曲形变势能。因此从能量角度给非线性弦振动方程以明确的物理意义.用约化摄动法将其变换为易于求解的KdV方程(u_t一6uu_(x)+U_(xxx)=0),求出了非线性弦振动方程的近似孤波解.用新近发展起来的双曲函数法,成功地得到了非线性弦振动方程的3组精确孤波解和2组其他类型的精确解.因此,在非线性弦振动中,如果初始扰动形成了一个孤波,则它在传播过程中波形和强度将始终不变,对于某处有材料缺陷的弦,当振动速度变换剧烈时,可能造成材料破坏。 论文第四章分别研究了弱相对论等离子体横向扰动下的离子声孤波、非均匀尘埃等离子体中孤子的传播和尘埃等离子体中尘埃声波的调制不稳定性。结果表明:1.在低阶近似下,无磁场相对论热离子等离子体可由KP方程((u_t+auu_(x)+bu_(xxx)_x+CU_(yy)=0)来描述,相对论热离子等离子中的非线性离子声孤波在高阶横向扰动下是稳定的,且在相对论热离子等离子体中仅存在压缩型孤波.2.在非均匀尘埃等离子体中,对于小的、但有限振幅的长波振动,孤子可用KdV方程(或KdV型方程)来描述,而且电势孤子的传播情况在定性上与离子等离子体中电势孤子的传播情况一致。无论是分界面不连续变化还是连续变化,对于小的、但有限振幅的长波振动,电势孤子从质量小的尘埃等离子体穿过分界面进入质量大的尘埃等离子体,电势孤子的振幅将增大,速度将变快,反之,电势孤子从由质量大的尘埃微粒组成的尘埃等离子体穿过分界面进入由质量小的尘埃微粒组成的尘埃等离子体,电势孤子的振幅将减小,速度将减缓。但对尘埃微粒的数密度孤子和速度孤子,其振幅符号与离子等离子体刚好相反。3.通过约化摄动法,得到了描述尘埃微粒电荷可变的热尘埃等离子体中尘埃声波的非线性薛定谔方程(iu_t+αu_(xx)+β|u|~2u=0),不论是单离子温度情形,还是两离子温度情形,尘埃微粒电荷可变的热尘埃等离子体中的尘埃声波是调制稳定的,仅存在暗孤子(包络穴). 论文第五章在血液充满的薄壁弹性管模型的基础上,研究了多动脉分支中孤子的传播和动脉不均匀性对孤子的影响。结果表明:当所有动脉分支的半径都相同时,将会出现最大反射,动脉血管的不均匀性将影响血流脉冲的振幅。此解析结果与数值和实验结果相一致。 论文第六章研究了耦合非线性传输线系统中的孤波,在连续近似和合适的坐标系下, 11 一一一一一一 藕合非线性传输系统的电压可以用mzK方程(。:十砂。二+v、二二0)来描述,并解析地得 到了在横向扰动下孤波增长率的截止频率,结果与p二1/2和p二1时的解析精确解一致.


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