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几类二阶常微分方程两点边值问题结点解确切个数的研究

安玉莲  
【摘要】: 微分方程各类解的存在性及确切个数的研究有着广泛的实际应用背景.本学位论文主要运用分歧理论研究了几类二阶常微分方程两点边值问题结点解的确切个数.结点解是指只有简单零点的可变号解.正解和负解是结点个数为零的特殊的结点解.论文共分五章. 第一章绪论,阐明本文研究背景,介绍研究的主要问题,所得的主要结果以及需要的一些预备知识. 第二章运用局部分歧理论和隐函数定理研究不带权两点边值问题u"+λf(u)=0, t∈(0,1),(0.0.1)u'(0)=0, u(1)=0结点解的确切个数,其中λ0是参数.针对一类不满足符号条件的非线性项f,讨论了(0.0.1)结点解集合的全局结构.对于任意给定的参数λ,获得了(0.0.1)具有确定结点个数的解不存在或恰有两个的确切结果.本章所得的结论推广了文献[73](T.Ouyang, J. Shi, J. Differential Equations,1999)关于(0.0.1)正解的确切个数的结果. 第三章首先研究带权两点边值问题u"+h(t)u'+λ.f(u)=0, t∈(0,1),(0.0.2)u(0)=0, u'(1)=0正解的确切个数,其中λ0是参数, h(·)∈C1[0,1]是权函数.在(?)具有单调性的情形下,讨论了(0.0.2)正解集合的全局结构.对于任意给定的参数λ,获得了(0.0.2)的正解不存在或恰有一个的确切结果.这一部分所得的结论推广和改进了Rynne[12]和Ma[70]关于(0.0.2)正解的存在、唯一性结果.其次,运用核空间为一维的隐函数定理和局部分歧理论研究带权两点边值问题u"+λα(t)f(u)=0, t∈(0,1),(0.0.3)u'(0)=0, u(1)=0正解的确切个数,其中λ0是参数,α(·)∈C2[0,1]是权函数.在(?)的单调性变化一次的情形下,讨论了(0.0.3)正解集合的全局结构.对于任意给定的参数λ,获得了(0.0.3)的正解不存在、恰有一个或恰有两个的确切结果.所得的结论推广了[73](T.Ouyang,J.Shi,J.Differential Equations,1999)获得的权函数α三1时关于(0.0.3)正解的确切个数的结果. 第四章运用局部分歧理论和隐函数定理研究带权两点边值问题u"+λα(t)f(u)=0, t∈(0,1),(0.0.4)u(0)=0, u(1)=0结点解的确切个数,其中λ0是参数,α(·)∈C2[0,1]是权函数.本章的前两节分别在f0,f∞∈(0,∞)和f0,f±∞∈(0,∞)且f+∞≠f-∞两种情形下,讨论了(0.0.4)结点解集合的全局结构.对任意给定的参数λ,获得了(0.0.4)具有确定结点个数的解不存在、恰有一个或恰有两个的确切结果.本章的后两节在f0=0,f∞=∞的情形下获得了λ=1时, (0.0.4)具有确定结点个数的解恰有两个的结论.在f0=∞,f∞=0的情形下获得了λ=1时, (0.0.4)的正解恰有一个,负解也恰有一个的结论.所得的结论推广了Shi和Wang在文献[32,33]中获得的α三1时(0.0.4)结点解确切个数的结果. 第五章运用全局分歧理论和Morse指标理论研究Neumann边值问题-y”+ρy=λ(y+1)+-α(y+1)--λ, t∈(0,π),(0.0.5)y'(0)=y'(π)=0结点解的确切个数,其中ρ0是充分小的常数,0≤αρ是常数,λ≥ρ是参数,u+=max{u(t),0},u-=-min{u(t),0},t∈(0,π).获得了参数λ满足λkλλk+1(k≥1)时, (0.0.5)恰有2k个解的结论,其中λk是(0.0.5)相应的线性问题的第k个特征值.由于Neumann边值问题本身所具有的难度,就我们所知目前尚无文献研究此类问题结点解的确切个数,本章所得的结果是新的.


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