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空间分数阶扩散方程的几种数值解法

汪向艳  
【摘要】:分数阶微分方程是从实际问题中抽象出来的一类微分方程,作为微分方程理论的一个重要组成部分,对它的研究一方面可以丰富微分方程的数学理论,另一方面也为研究化学,生物,物理,工程及经济学等诸多方面的现象和过程提供了更好的数学模型,促进了这些学科的研究与发展.此外,我们也知道,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统,规律的求解公式,目前对它的研究还处于初级阶段.为了更快更好地推进分数阶微分方程的研究与发展,尤其是其数值解的研究,还需要做大量的工作. 本文主要研究空间分数阶扩散方程的数值解法.在本文中,分数阶的导数均指的是Grunwald-Letnikov定义下的分数阶导数. 首先给出了分数阶微分方程的来源,研究意义,国内外研究现状以及一些预备知识和本文的结构. 其次,研究了一维空间分数阶扩散方程,通过构造一种加权的显式有限差分格式来求解这类方程.并且对这种格式的稳定性和收敛性做了分析.最后给出数值算例,验证了格式的精确性和可靠性. 再次,讨论了一维带有源项的变系数空间分数阶对流-扩散方程,通过取权参数ε=α/2构造出了一种加权的隐式有限差分格式.并且证明这种差分格式是无条件收敛的,最后给出了数值算例,验证了这种格式的可靠性和精确性. 最后研究了由多孔介质渗流问题推导出来的一类二维空间分数阶对流-扩散方程.通过构造一种ADI差分方法对这类方程进行求解.为了提高精度,采用Richardson外推法对方程作了进一步求解.最后通过数值算例验证了这种格式的有效性,精确性和可靠性.


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