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椭圆型方程的间断Galerkin有限元解法

闵敏  
【摘要】:间断Galerkin有限元方法(简称DG有限元方法)是由Reed和Hill于1973年首先提出的,它是一种采用完全间断基函数的有限元方法,具有传统有限元所不具备的灵活性和优点,如可以对网格进行任意剖分,而且允许出现“悬挂”的网格节点.因此DG有限元方法己在很多研究领域得到了快速的发展和应用. 目前,求解椭圆型方程的DG有限元方法主要有两种模式:一种是将求解扩散方程的DG有限元方法应用于椭圆问题,即引入中间变量,形成一阶方程组;另一种是对椭圆型方程直接应用惩罚形式的DG有限元方法,包括对称的内部惩罚方法(SIPG)、非对称的内部惩罚方法(NIPG)和不完整的内部惩罚方法(IIPG).在这两种模式中,分别采用了数值通量和内部惩罚项来抑制跨越单元边界的不连续性. 本文应用DG有限元方法求解一维和二维椭圆型方程边值问题.首先,针对一维两点边值问题,应用三种混合间断有限元方法,对带有混合边界条件的边值问题进行数值模拟,并把它们推广到间断系数的情形.特别地,对于间断系数情形,这三种方法同样获得了较高的收敛阶.其次,对于二维变系数椭圆型方程,应用对称的内部惩罚方法(SIPG)、非对称的内部惩罚方法(NIPG)和不完整的内部惩罚方法(IIPG)进行求解,并从收敛阶和惩罚参数的取值这两方面,对这三种方法进行了比较,总结了它们的优缺点.最后,本文提出了改进的惩罚方法,使得新的NIPG和IIPG方法都达到了最优收敛阶.


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