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高精度紧致差分方法的研究与应用

翟术英  
【摘要】:有限差分法是用于求解微分方程定解问题最常见和应用最广的数值方法之一随着现代科学和工程技术的发展,描述各种问题的微分方程(组)变得更加复杂,高精度紧致差分格式日益受到人们的重视.由于其使用基点少、分辨率高、边界易处理且能达到与谱方法相近的分辨率等优点,越来越受到学术界和工程界的欢迎. 目前大多数构造紧致差分格式的思想是:给定一个具体方程,针对这个问题设计某一个或者某几个所期望的高精度格式.虽然这种思想容易理解且便于实施,但是不具有通用性,不同的方程需要用不同的处理方法;即便是同一个方程,从不同的角度也会产生不同的格式.那么是否有一种推导方法具有通用性,并且对于特定的方程可以得到能够包含所有特殊格式的统一形式.本论文以此为出发点,提出了一种不同的构造思路:基于有限体积的思想,首先选取不同的控制体,将原方程在控制体上积分;然后根据所需要的精度,采用恰当的插值公式和积分公式进行离散;最后得到高精度的紧致差分格式.我们将通过不同的模型来说明这种方法的强壮性和有效性.具体的研究内容和所得到的主要结论包括以下几方面: 一、讨论了二维/三维泊松方程的高阶紧致差分格式:通过选取不同的控制体,我们分别建立了求解泊松方程的一族四阶和六阶紧致差分格式.同时由于拉普拉斯算子的对称性,我们发现对称且重叠的对偶剖分更有助于高阶格式的建立. 二、讨论了三维定常变系数对流扩散方程的高阶紧致差分格式:通过两种不同的对偶剖分,我们建立了一族四阶紧致差分格式.但是由于对流项的影响、直接构造六阶精度的紧致差分格式变得十分复杂,为此,我们给出了一组新的Richard外推公式,可以直接在细网格上得到六阶精度的数值解. 三、建立了两类非线性双调和方程的高精度紧致差分算法:通过引入中间变量u(=△u),原始四阶问题变为两个耦合的二阶问题,降低了问题的复杂性.但是对于第一类双调和方程,我们无法从原始问题得到v的精确边值,为此我们引入联合紧致差分的思想,大大改进了u的边界值的精度. 四、最后研究了三维分数阶对流扩散方程的高精度紧致交替方向隐士(ADI)差分格式:我们首先使用指数变换消掉对流项,将原方程转化为分数阶扩散方程,然后使用Pade逼近和中心差分分别离散空间导数和Capto定义下的时间分数阶导数,最后基于不同的分裂项,建立了两个高阶ADI求解格式.数值实验表明,第二个格式可以得到更精确的数值解.


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