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一类特殊对流扩散方程有限差分法的研究

冯新龙  
【摘要】: 对流扩散方程是描述粘性流体运动的非线形方程的线性化模型方程,而且 它本身也描述了许多自然现象,例如在水中或大气中污染物质浓度的扩散, 沿海盐度,温度扩散等等。因此求解对流扩散方程的计算方法引起了充分的 重视。 考虑对流扩散方程在区域D={x|0≤x≤1,0≤t≤T}上的初边值问题 初始条件 u(x,0)=u_0(x) 0<x<1 边界条件 u(0,t)=u(1,t)=0 0<t≤T 其中ε>0为任意常数。 本文对问题(1)的有限差分方法进行了研究。从一般差分格式的构造,并 行解法的构造,特征-差分法的构造三个方面出发讨论了对于对流项系数无 界,扩散项系数趋近于零情况的处理方法。 目前,求解常系数线性对流扩散方程已有了许多方法和技巧,理论上也 很成熟。一般地,这些方法和技巧都可以推广到求解非线性对流扩散方程, 在对流项的处理上以及对计算小ε值的情形处理成为一个关键。对于对流项 系数有界且对流占优的扩散方程的讨论较多,采用的方法很多,主要以有限 元与特征法的结合为主。而对于对流项系数无界的情形,讨论的较少,所采用 的方法也只是一般差分方法。无论是哪种情形,若对于小的ε值处理不当,计 算结果则会出现非物理振荡。所以对于此类问题的研究工作一直方兴未艾。 本文从三个方面将一般差分方法,并行算法和特征-差分法求解常系数 线性对流扩散方程已有的一些方法和技巧推广到了求解变系数线性对流扩散 发展方程。在求解问题(1)的一般差分方法中,我们得到了两种绝对稳定的加 权隐格式,分别是4点加权两层隐格式和6点加权两层隐格式。得到了三种 条件稳定的显格式,分别是4点加权两层显格式,4点加权迎风显格式,和5 点加权三层显格式。文中分别给出了这五种差分格式的稳定性条件,并利用 能量分析法给出了4点加权两层显格式的稳定性证明。 虽然建立了这些差分格式,但在并行算法的推广中遇到了问题,显式方 法很适合于并行计算,但由于稳定性条件限制,必须采用非常小的时间步长 进行计算。隐式格式一般无稳定性条件,但在每一个时间层要求解线性代数 方程组,实现并行计算有一定的困难。本文将Evans和Abd毗lah首先建立的 GER方法,GEL方法,。4GE方法(参见文献p6I)推广到了求解问题(1)。 这三种格式同样能进行显式计算,在实际中具有好的稳定性和计算精度,但 在理论上不能保证其绝对稳定性质,原因在于问题n是关于时间t的发展方 程,若问题(1)的系数与时间t无关,则AGE方法是绝对稳定的(参见文献 [25])。 另外,文中也给出了两种特征-差分方法,它们是差分法与特征法的结 合,即扩散项用差分法,对流项用特征法,大体上都是迎风格式在不同意义 下的推广。其中第一种特征-差分方法为通常所采用的一般格式,形式比较复 杂,数值求解比较困难。第二种特征-差分方法是在第一种方法基础上的改 进,截断误差较小,形式简单,数值求解比较容易。文中给出了第二种方法的 数值结果。 最后,我们针对以上讨论,进行了以下初边值问题的数值实验 r 纱一卫犁=三染.0<、。<1.才>0 D & Tof“a22·——、、-。,。-- lull.0)=1一1“.0<上<1 】犁=0。=0.亡>0 Ill=0.工=1。亡>0 这里。是充分小的常数。 为了便于说明问题,我们以文中的三种构造方法,分别进行数值实验。在 每组数值实验中,我们分别取了4个不同的。值,并将数值结果绘制成图形。 在第一种构造方法中我们将分别利用以【“三种差分格式进行求解 川含有加权因子的两层4点迎风显格式 间两层4点隐格式 (3)含有加权因子的两层6点隐格式 在第二种构造方法中我们将分别利用以下三种差分格式进行求解 (l)肌ul’yev格式,采用从右向左求解. (二)GER格式求解对流扩散方程. (3)AGE格式求解对流扩散方程. 在第三种构造方法中我们采用文中式(4印的差分方程组进行求解。 综上,数值结果表明了文中三种构造方法的可行性。


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