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最大赋权单圈图的谱半径

陶兴明  
【摘要】: 设G是一个图, A是其邻接矩阵,称A的所有特征值为图G的谱,最大的特征值为图G的谱半径.图谱的研究主要是通过代数方法来研究图的结构参数和特征参数.在[1]中, Ho?man给出了图的色数χ(G)与最大特征值ρ(G),最小特征值ρmin(G)之间的关系:χ(G)≥1+ . Be′la Bolloba′s和VladimirNikiforocv在[2]中得到了图的团数和谱半径的关系,对所有的r≥2都有: 其中, ks(G)表示图G的s-团数.研究图的谱半径也是一个很有意义的问题,Brualdi和Solheid [3]提出如下的关于谱半径的问题:给定一个图的集合S ,找到S中所有图的谱半径的上界并刻画出达到上界的图. Sebastian M.Cioabaˇ等在[4]中给出了非正则简单图G的谱半径与图的顶点数n,边数m,直径D以及最大度?之间的关系: 在[5]中, Yuan Hong and Jin-Long Shu给出了简单图G的谱半径ρ(G)与最小度δ,边数m,点数n之间的关系:等式成立当且仅当G是一个正则图,或者G是这样一个图:每一个顶点的度数要么是δ,要么是n. 赋权图的谱的研究已经被用来解决很多实际问题,网络设计以及电路设计实际上都依赖于赋权图,对于一般的图,可以看成是所有权都为“1”的赋权图的特例.设GfW是一个以G为底图, W为权, f为权函数的赋权图;当G为单圈图时,我们称GfW为赋权单圈图,若G只含有一个圈时,我们称GfW为赋权圈.本文的主要结果分为两个部分,第一部分给出了最大赋权圈;第二部分给出了一个单圈图是最大的赋权单圈图的充分必要条件. 第一节介绍了背景,基本本概念以及相关的结果. 第二节主要研究了圈的赋权问题.文献[?]中证明了赋权星图的谱半径是所有赋权树的谱的上界,文献[14]给出了谱半径达到第二大的赋权树.在这一章中,我们将证明CfWM是极大赋权圈. 第三节主要研究了赋权单圈图的最大图.在以上的图中,不管权怎么变,最大图的权函数是确定的(这里的确定指的是权按大小在边上的排放次序是固定的),但是对于单圈图,这是不正确的.在谱半径达到最大的单圈图中,首先确定了第一大权和第二大权的的放置位置,然后给出了第i大权放在v2v3的充要条件;最后,给出了表1,该表说明了最大赋权图的边v2v3上的权可以是第三大的权,最小的权,或者第三大与最小权中之间的权.


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