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超图的奇圈横贯和偶边着色

朱俊杰  
【摘要】: 近年来,超图理论得到迅速发展和完善。超图是有限集合的子集系统,是离散数学中最一般的结构,超图的着色理论在离散数学中起着非常重要的作用。 众所周知,图中的树结构在计算机领域得到了广泛的应用。作为图的推广,超图中的圈很早就被研究,1965年Lovazs就证明了n个顶点p个连通分支边集为{E_i},i=1,2,…,m的无环超图H,若E_i≠E_j满足|E_i∩E_j|≤2且不包含3长以上圈,则(?)(|E_i|-2)n-p。在无圈超图的基础上,后人将问题进一步演绎,着力研究无偶圈的超图和无奇圈的超图,Alcxandr Kostochka,Andras Gyarfas,Michael S.Jacobson,Andre E.Kezdy,Jeno Lehel等人在这方面做了许多工作,他们将一些图论中的结果推广到超图中,还将一些超图中的结果还原回图论得到了较好的结果,这样做更加明确了超图自身的研究意义和超图对图论的指导意义。本文所做的工作主要是将图论中的奇圈横贯和偶边着色的定义和定理向超图推广得到其更一般的形式,通过对超图中超圈的研究来发展和完善超图中超圈理论。 整篇文章中,对超圈及其相关理论的研究分如下几个部分: 第一部分:给出超图中超圈的定义及其相关的基本概念。 第二部分:图G+K_2对研究图的奇偶性起着非常重要的作用,本部分推广了此概念,给出了H+K_2的定义。定理2.2.1得到超图H的两个顶点x和z之间有奇长链的充分条件,即 定理2.2.1 H是连通简单超图满足,x和z是H中的两个顶点,若超图H+K_2-{x',z'}存在有完美匹配,则H中有一条x到z的奇长链。 在定理2.2.2中对具有遗传2着色性质的超图H的奇圈横贯用H|K_2进行了刻画,即 定理2.2.2若n个顶点的超图H具有遗传2可着色性质,那么τ'(H)=n-α(H+H_2)。 而超图的独立数α有相当多的已知结论,这样简化了超图奇圈横贯的计算。在定理2.2.2的基础上,我们自然对那些图具有遗传2着色性质产生了兴趣,这也是2.3节主要研究的问题。定理2.3.1给出了k-一致超图H具有遗传2着色性质的充分条件,即 定理2.3.1如果H是k一致超图,若q(H)的所有系数模k均不为0,则H具有遗传2着色性质。 随后定理2.3.2证明了 定理2.3.2 H是线性简单超图,若q(H)中有形式为x_k,k∈{1,2,…,n}的单项式,那么H具有遗传2着色性质。 本部分最后给出了Z_H的定义,并得到了 定理2.3.4 H是简单超图,若Z_H是正规的,那么x(H)≤4。 第三部分:图偶圈着色的概念来源于对平衡标号图的研究。本部分将图偶圈着色的定义推广到超图上,并且主要研究了超图最大偶边着色ε(H)。主要证明了 定理3.2.1如果H是n个顶点连通的简单r-一致超图,那么ε_(max)(H)≤(?) 并且由此得到了 推论3.2.1如果H是n个顶点k个连通分支的简单r-一致超图,那么ε_(max)(H)≤(?)。。 本部分的最后证明了 定理3.2.3 H是n个顶点r-一致的连通超图。若H只包含一个圈,则ε_(max)(H) (?)-1。 在图中ε_(max)(G)=n-1,定理3.2.1和定理3.2.3的结果在r=2时与图论中的结论相符,而且还推翻了一个很直观的猜想:n个顶点k个连通分支的r-超图H的最大偶边着色的是(?)。


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1 朱俊杰;超图的奇圈横贯和偶边着色[D];新疆师范大学;2008年
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