分数阶波动方程的数值方法及其应用

【摘要】：近年来,分数阶微积分在物理、化学、工程、金融等诸多领域得到广泛应用,并显示出经典微积分无法替代的优势。但是分数阶微分方程的数值算法发展尚不成熟,存在计算量大、成熟算法少等诸多问题。因此对分数阶微分方程的数值算法的研究日益重要。 本文针对分数阶波动方程给出一种新的数值算法,大大降低了计算量。主要结论如下： (1)讨论了时间分数阶扩散波动方程的数值算法。用有限差分法对方程进行离散。离散方程中含有奇异核的积分部分。用对s-β分段近似级数构造了计算该积分部分的递推公式,大大降低计算量和计算的长度。最后利用该算法计算时间分数阶波动方程,通过精确解和数值解的比较说明了算法的有效性。 (2)研究黏弹性轴向运动弦线的力学性质。用分数阶本构模型来描绘黏弹性轴向运动弦线的横向振动。该模型的控制方程是分数阶偏微分方程。用Galerkin方法对时间变量进行数值离散,利用s-β的逼近级数建立递推公式,数值算例讨论了各参数对黏弹性轴线运动弦线的横向振动的影响。