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题解无网格法及其与有限元法的比较研究初步

张俊贤  
【摘要】:近几十年来,有限元法(FEM)由于其通用性和灵活性已经成为工程数值领域的主要方法,但是有限元法在分析大变形、不连续性等问题时存在缺陷。无网格法(MLM)正是基于这些缺陷提出的。本文在分析了无网格法的研究历史和现状、分类和优缺点的基础上,基于算例分别采用无网格伽辽金法(EFGM)和有限元法进行数值模拟,对两者在结构体离散、刚度矩阵建立、等效节点荷载施加、边界条件的引入等方面进行了比较分析,并指出了各自的优缺点。 基于一维算例,在相同条件下,分别对无网格伽辽金法中影响其精度的下述因素:布点方案、基函数、权函数、形函数以及支撑域半径等方面进行分析,得到了各因素的经验参数,具有一定的指导意义。相比有限元法单元的划分,无网格法布点更为简单,后处理也比较方便。权函数的选择非常关键,在几种常用的权函数中,选取四次样条型权函数得到的结果最为精确。运用点插值法建立形函数相比移动最小二乘无网格伽辽金法具有点插值性,更容易施加边界条件。支撑域半径的选取决定着支撑域的大小,也是影响计算效率和精度的一个重要因素。 文章简述了无网格法中另外的比较成熟的方法——配点法,并基于一维算例在相同条件下分别与无网格伽辽金法计算结果进行了对比。相比于无网格伽辽金法,配点法计算效率高、位移边界条件容易实现、但系数矩阵是非对称的、稳定性较差。 本文简单介绍了克立格法,并将其应用到求解无网格法形函数的过程中,建立了克立格无网格伽辽金(KEFG)法(简称克立格无网格法)。用克立格无网格伽辽金法分析了一维杆件算例,并与相同材料参数条件下运用无网格伽辽金法得到的结果进行对比,结果表明该方法具有很好的稳定性和点插值性,方便施加位移边界条件,在固定端的误差相对于无网格伽辽金法要小,且计算量远小于无网格伽辽金法。 最后运用无网格伽辽金法求解了土体的二维固结问题,并与相同条件下运用有限元法得到的结果进行比较。结果表明两种方法计算结果比较吻合,说明该方法可以有效地模拟工程问题。


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