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函数空间上的算子理论

黄穗  
【摘要】: 函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题,与数学的许多领域有着密切联系,是现代数学的一个重要分支。在经历了长期的研究历程后,已经形成了一系列非常丰富的理论体系。 算子理论主要以各种函数空间上算子的性质作为研究对象,包括算子的有界性、紧性、Predholm性质、谱性质及代数性质等多个方面。在经典的单变量Bergman空间、Hardy空间及Dirichelt空间上,对Toeplitz算子、Hankel算子、复合算子的研究已经形成了相对完善的理论体系。自从Toeplitz矩阵由A.Brown和P.R.Halmos表示成Toeplitz算子的形式以后,引起了人们的广泛关注。R.G.Douglas首次对单位圆周的Hardy空间H2(T)上以各类函数为符号的Toeplitz算子的有界性、紧性、Fredholm性质、谱性质作了系统的介绍。A.Bottcher进一步系统地介绍了Hp(T)(1<p<∞)空间上Toeplitz算子、Hankel算子的各种性质。K.H.Zhu对Bergman空间上的Toeplitz算子、Hankel算子、复合算子的性质作了详细的刻画。Cao讨论了Dirichelt空间上Toeplitz算子的Fredholm性质和谱性质。 由于高维函数空间的性质结构非常复杂,与单变量的情形有诸多不同之处,致使我们丧失了许多研究其上算子性质的有力工具,无法将单变量函数空间上成立的结论推广到高维函数空间上,但是这也使得高维函数空间及其上算子理论成为目前活跃的一个研究课题。 本文着重讨论了高维Bergman空间、Hardy空间上Toeplitz算子与Hankel算子得性质,主要分为以下几个部分: (1)单位球的加权Bergman空间上具有无界符号的迹类Toeplitz算子; (2)多圆柱的Bergman空间上具有无界符号的迹类Toeplitz算子; (3) Hardy空间H1(Sn)上Toeplitz算子的Fredholm性质; (4) Hardy空间H1(Sn)上Hankel算子的有界性。 本文首先在单位球的加权Bergman空间上构造了一类无界函数,使得以这类函数为符号的Toeplitz算子是紧算子,并且在此基础上构造了迹类Toeplitz算子。接着利用类似的方法构造了多圆柱的Bergman空间上的迹类Toeplitz算子。然后讨论了Hardy空间H1(Sn)上Toeplitz算子何时具有Fredholm性质,并且给出了算子此时的指标公式。最后研究了Hardy空间H1(Sn)上Hankel算子的有界性。


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