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一类拟线性抛物系统解的存在唯一性和渐近行为

李菁菁  
【摘要】:本文讨论的是生物数学中基于偏微分方程的拟线性抛物系统,该系统中的反应函数是经典的Rosenzweig-Macarthur型。在该系统中,我们考虑非匀质的扩散系数,即受时间和空间影响,边界条件包含了 Dirichlet,Neumann,Robin三类边界条件。我们重点考察该系统的解的存在唯一性以及渐近行为。主要内容如下:第一章介绍了本文研究的背景、意义,以及本文所研究的模型的来源。第二章主要讨论了一类拟线性抛物系统,该系统是拟线性抛物型Rosenzweig-Macarthur模型,我们采用上下解方法,证明了解的存在性和唯一性。证明过程中首先定义系统的上下解,然后通过变换处理系统的非线性项,接着通过迭代得到系统上下解的单调序列,最后通过证明上解单调递减,下解单调递增收敛至同一个解得到了系统解的存在性和唯一性。第三章主要讨论了与这类拟线性抛物系统相对应的椭圆系统的稳态解,依旧运用上下解方法,首先通过对应的特征值问题构造一对椭圆系统的上下解,由这组上下解作为初始值进行迭代得到上解单调递减序列和下解单调递增序列,上解序列收敛到椭圆系统的最大解,下解序列收敛到最小解,通过证明最大解等于最小解得到这个椭圆系统的稳态解。第四章探讨了拟线性抛物系统的解的渐近行为。我们首先证明了该系统的上解和下解分别关于时间单调递减和单调递增,当时间趋于无穷大时,上解单调递减收敛到对应椭圆系统的最大解,下解单调递增收敛到对应椭圆系统的最小解,然后证明抛物系统的解落在椭圆系统的最小解和最大解之间。利用上一章的结论得到该抛物系统的解收敛到椭圆系统的稳态解。通过以上讨论,我们采用上下解方法并借助对应的椭圆系统证明了这类拟线性抛物系统的解的存在唯一性和渐近行为。


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