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Banach空间中非线性映射的遍历理论

李华云  
【摘要】: 非线性算子半群的遍历理论的研究开始于二十世纪七十年代中期,随后 由于被广泛应用于微分方程的数值解,正解的存在性理论,控制论,最优化等 问题中而得到了很大发展。Baillon[1]首先在Hilbert空间中给出了非扩张 映射的遍历定理。Baillon的定理被Bruck,Hirano及Reich推广到具 Frechet可微范数的一致凸Banach空间中,而当G是一般交换拓扑半群 时,Hirano-Kido-Takahashi,Oka,Park及Jeong分别给出了具Frechet可 微范数的一致凸Banach空间中非扩张半群及渐近非扩张半群的遍历压缩定 理和遍历收敛定理。而当G非交换时,Lau和Takahashi利用不变平均技巧, 在假定G是右可逆,X具一致Frechet可微范数及RUC(G)存在不变平均等 条件下,给出了非扩张半群的遍历压缩定理。进一步,当X是Hilbert空间 时,Miaxoguchi及Takahashi引入了不变子平均的概念,在一般拓扑半群上 给出了渐近非扩张半群的遍历压缩定理。Li[10]避开了不变平均及不变子平 均的概念,在具Frechet可微范数的一致凸Banach空间中,给出了一般拓扑 半群上渐近非扩张半群的遍历压缩定理。本文第一章主要将文[23][24]中的 结论推广到殆轨道的情形,这不仅回答了Lau-Takahashi[24]中的问题,而 且指出了文[23][24]中的某些关键条件是不必要的。 Bose[4],Feathers & Dotson[5]利用Opial引理[6],在具有弱连 续对偶映射的一致凸Banach空间中给出了渐近非扩张映射的弱收敛定理。随 后,Passty[7]又利用Bruck引理[2]将[4][5]的结果推广到具有范数 Frechet可微的一致凸Banach空间中。但是,当X不具范数Frechet可微这 一条件时,类似的结果是否成立一直多年未知。本文第二章在G仅要求是一 个定向网,X为不具有范数Frechet可微条件的一致凸Banach空间的情况 下,给出了一族渐近非扩张映射的弱收敛定理。我们应注意到本文中X~*有 (KK)性质是一个比X具范数Frechet可微严格弱的条件。 本文第三章在自反的Banach空间中给出了一般拓扑半群上渐近非扩张 型半群的遍历收敛定理与其殆轨道情形的等价性,从而利用本章中的定理可 以直接推得文[13][14][15][16]中的主要结果。这同时也说明了所有半群上 成立的结果都可以推广到殆轨道的情形。


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