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准素子群的正规化子有素数幂指数的群的研究

朱晓星  
【摘要】: 在讨论有限群G的构造和性质时,我们常常借助于其子群的性质。众所周知,有限群的西洛子群的正规化子在对有限群G的研究中起着极其重要的作用。我们令x表示一个群类,我们把西洛子群的正规化子包含在x中的群构成的群类用Nx来表示。在1986年,Bianchi和Mauri以及Hauck首先证明了对于所有的幂零群类N,N~N(?)N成立。也就是说,如果群G的所有西洛子群的正规化子是幂零的,则G本身也是幂零的[1]。1988年,Fedri和Serens在[2]指出对于所有的超可解群类V,未必有N~V(?)V。上述文章中,都是讨论西洛子群的正规化子有内部性质的有限群。另一方面,人们也可以讨论西洛子群的正规化子有某种外部性质的有限群。1988年,Kondrat'ev[3]证明了:如果群G的任意西洛子群的正规化子在G中的指数为奇数,则G是2-幂零的。1995年,Zhang[4]证明了如果群G的任意西洛子群的正规化子有素数幂指数,则G是可解的。随后,Chigira在[5]中证明了对于任意r∈π(G),如果p≠3而且(|G:N_G(G_r)|,p)=1,则群G是p-幂零的。1996年,Guo[6]证明了一个群G的西洛子群的正规化子的指数为奇数或为一个素数幂当且仅当G为可解群而且G=KH,其中K和H都是群G的Hall-子群,K是正规于G的一个2'-Hall子群的幂零子群,H是2-幂零的。作为这方面研究的继续,本文进一步研究了准素子群的正规化子有素数幂指数的有限群。§1中给出这类群的定义以及所需要的主要概念和基本结果,我们把准素子群的正规化子有素数幂指数的有限群称为NP群。在§2中,我们将给出NP群的结构:1)如果群G是NP群,则G一定是亚幂零群。2)如果群G是NP群,则G是幂零群被Dedekind群的扩张。


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