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西洛群的正规化子有素数幂指数的有限群的幂零长度的界

陈肖黎  
【摘要】: 西洛群的正规化子有素数幂指数的有限群的幂零长度的界 有限群G的子群和群G本身的关系已经被广泛的研究。众所周知,有限群的西洛子群的正规化子在对有限群G的研究中起着极其重要的作用。我们令x表示一个群类,我们把西洛子群的正规化子包含在x中的群构成的群类用N~x来表示。在1986年,Bianchi和Mauri以及Hauck首先证明了对于所有的幂零群类N,N~N(?)N成立。也就是说,如果群G的所有西洛子群的正规化子是幂零的,则G本身也是幂零的[3]。1988年,Fedri和Serens在[5]中指出对于所有的超可解群类u,未必有N~u(?)u。我们知道所谓群系,是一个关于同态像闭的和次直积闭的群类。群系Φ称为(?)-群系,如果每个极小非Φ-群或者是斯米特群,或者是素数阶群。近年来,郭文彬教授给出了当群G的所有西洛子群的正规化子属于一个(?)-群系Φ,群G也属于这个(?)-群系的一个判别准则[7,Ch.3,]。他同时还给出了有关这个结果的一系列的应用。特别是,Bryce,Fedri和Serens以及郭([2]和[8])对N~FΦ中的群的幂零长度作出了研究,其中Φ是所有超可解群类Y,或者是幂零长度≤r的群类。我们注意到在上述的所有文献中,都是对西洛子群的 扬州大学硕士学位论文生 正规化子的内部性质进行讨论的有限群。另一方面,人们也可以讨论西洛 子群的正规化子有某种外部性质的有限群。1988年,Kondrat’ev卜11证明了: 如果群G的任意西洛子群的正规化子在G中的指数为奇数,则G是2一幂 零的。1995年,zhang卜习证明了如果群G的任意西洛子群的正规化子有素 数幂指数,则G是可解的。随后,chigira在卜1中证明了对于任意;。城G), 如果p,3而且IG:凡(G,)I,;)·1,则群G是;一幂零的。1996年,郭文彬 教授沙1证明了一个群G的西洛子群的正规化子的指数为奇数或为一个素 数幂当巨仅当G为可解群而且G二尤厅,其中K和H都是群G的Hall一子 群,K是正规于G的一个2’一月恤21子群的幂零子群,H是2一幂零群。木文 进一步研究了西洛群的正规化子有素数幂指数的有限群的幂零长度。特别 是,发现了这类群的幂零长度的范围。所以同样也导出了一些关于有限群 的有趣的性质。 在这篇文章中,所有的群均为有限群,采用的概念和符一号主要取自文 献[lo]和[l 21 我们在芍1中将给出本文需要的基本概念和基本结果。在互2中给出一 些引理。在芬3给出主要结论及其应用。


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