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巴拿赫空间中微分包含的解及其性质

凡震彬  
【摘要】: 微分包含又称为多值泛函微分方程,是非线性分析理论的一个重要分支。由于其在工程技术、国民经济、优化理论以及控制论等领域有着广泛的应用,微分包含理论近年来得到了迅猛的发展。对于各类非线性微分包含的研究,包括解的存在性、解对初值的连续依赖性、解的渐近行为以及解集的拓扑结构等方面有了许多的结果,但其中大部分结果都是在半群紧或等度连续情形下获得的。随着微分包含理论在实际应用中的不断深入发展,我们自然要问,在半群失去紧性或者等度连续性时,有没有相应的结论-本文的目的就是给出这些问题的一些答案。 本文第一章讨论如下半线性微分包含解的存在性 这里{A(t)}t∈[0,T]是一族线性算子,F是一多值映射。 本章中用到的主要工具是非紧性测度理论,半线性微分方程理论以及多值分析理论。在1.1节中介绍了有关它们的一些基本知识。1.2节给出主要结论,即适度解的存在性,延拓性以及整体存在性(见Theorem 1.10,Theorem 1.11, Corollary 1.14)。证明中我们首先定义了一个新的正则的非紧测度,然后利用截口的非紧测度来估计等度连续模,从而在不需要发展系统{U(t,s) : 0≤s≤t≤T}等度连续性的情形下得到了上述主要结论,这推广了[50, 65, 78]中的相应结果,其需要发展系统或半群的紧性。 第二章主要处理如下具无穷时滞非线性微分包含积分解的存在性以及对初值的连续依赖性 这里A是一m-增生算子并且-A生成一等度连续半群,F是一多值映射,B是一抽象的相空间,X-是一致凸的巴拿赫空间。我们在失去半群紧性的情形下,利用一二元非紧测度H (见(2.3.9)式)以及一多值不动点定理证明了上述问题在一般相空间中积分解的存在性,这将[39, 44, 48]中的结论推广到无穷时滞情形并将[35]中结论推广到完全非线性情形。 2.1节中回忆一些基本概念以及一多值不动点定理。2.2节,定义了积分解算子并给出它的一些基本性质。在2.3节中给出上述问题局部解的存在性(见Theorem 2.12)。2.4节中证明了积分解的整体存在性以及解集的相对紧性(见Theorem 2.14)。最后,在2.5节中得到了解集P(?)对初始函数?的连续依赖性(见Theorem 2.18)。 第三章致力于研究如下半线性非局部问题适度解的存在性 其中A是一强连续有界线性算子族{T(t), t∈[0,b]}的无穷小生成元,f : [0,b]×X→X是一Caratheodory型映射,g : C(0,b;X)→X是一连续映射。 本章利用的主要工具是有关巴拿赫空间中半线性微分方程的理论和方法,非紧性测度性质以及不动点技巧。证明中我们尽量使用非紧性测度性质(这似乎是首次将非紧性测度用来处理非局部问题),这不仅使我们成功去掉了半群的紧性,甚至等度连续性,同时也使我们避免了无界算子A在t = 0点处的复杂性。3.1节中,我们回忆了一些基本定义和事实。3.2节中,我们在f和g的不同条件组合下得到了非局部问题适度解的存在性(见Theorem 3.7, Theorem 3.10,Theorem 3.12, Theorem 3.15以及Theorem 3.16),推广了这方面的许多工作。 第四章我们讨论如下非线性发展包含积分解的弱收敛以及强收敛性 其中{A(t) : t≥0}是一族m-增生算子,x0∈D(A(0)),F是一强可测多值映射。 4.1节我们给出巴拿赫空间中非自治系统积分解的一些定义和性质。由于非自治系统的积分解不再是半群的殆轨道,故[33, 68, 69, 66, 72, 73, 81]中的方法不适用于这儿的情形。我们直接从积分解的性质入手,在4.2节中得到了积分解的遍历定理,并利用此结论给出了非自治系统积分解弱收敛的充分必要条件(见Theorem 4.5和Theorem 4.7)。在4.3节中,我们改进了[68]中的收敛条件并由此得到了非自治系统积分解强收敛的充分条件(见Theorem 4.10)。 第五章考虑如下限制非线性微分包含解集的拓扑结构其中A : D(A) (?)X→2~X是一m-增生算子使得-A生成一非扩张半群S(t) :D(A)→D(A),t≥0,D (?) D(A)是一非空集合,F : [0,T]×D→2X是一多值映射。 本章利用并改进[6]中的方法,在对D的适当假设以及切锥条件下,证明了上述限制微分包含的解集是一R_δ集(见Theorem 5.8)(这似乎是有关非线性限制微分包含问题的第一个结论),并利用此结论讨论了非线性微分包含的周期解。另外,当利用这儿改进了的方法回到半线性限制微分包含问题时,我们发现[6]中主要结论的许多条件是不需要的,比如半群的非扩张性以及半群关于集合D的不变性(见Remark 5.20)。最后利用上述结论证明了周期解的存在性(见Theorem 5.25和Theorem 5.26)。


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