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非线性方程的精确解及求解方法的分析

操锋  
【摘要】: 随着科学技术的发展及实际应用的需要,人们面临着大量的非线性问题,它们很多可以用非线性方程来刻画,因此,研究非线性方程的求解具有非常重要的意义。经过国内外专家学者长期的努力,许多有效的求解方法已被提出,比如:反散射方法、Backlund变换法、Darboux变换法、Hirota双线性算子法、Lie方法、分离变量法、Painleve展开法等。近年来,随着计算机代数的发展,又出现了各种直接代数方法。比如:齐次平衡法、F-展开法及其扩展形式、双曲函数法及其扩展或修正形式、试探函数法、Jacobi椭圆函数法及其扩展形式、辅助方程法、Riccati方程展开法、投影Riccati方程法、直接约化法、Sine-Cosine方法、广义幂-指函数法等。通过这些方法我们可以得到非线性方程各种形式的精确解。另一个问题产生了:这些形式不同的解是否对应着非线性方程本质上不同的解? 本文研究(2+1)维色散长水波方程组的解,并由解的分析延伸到方法的分析,系统地总结并分析了双曲函数法,给出了双曲函数法求解的一般步骤。 第一部分简要介绍非线性科学的一些发展背景。 第二部分首先介绍齐次平衡法的一般原理及其一些新的应用;然后利用该方法得到二维色散长波方程组的Backlund变换,最后利用Backlund变换得到方程组的四种精确解。 第三部分首先介绍双曲函数法的一般求解步骤,并利用该方法得到(2+1)维色散长波方程组的六组精确解;然后给出了Sirendaoreji等在文献[ 23]中利用辅助方程法求得的四组解,通过恒等变形我们发现这四组解和我们给出的其中四组解是等价的;最后由上节启发,我们发现两种不同的方法得到的解可能是等价的。于是我们系统地分析了Yan,Dai,Huang,Xie, Shang等在文献中提出的拓展的双曲函数法,结果显示这些方法只是数学形式不同,本质上是等价的。


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