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二阶非线性偏微分方程之间Miura变换的分类

陈影  
【摘要】: 本文研究形如u xx = F(u ,ux,ut)的非线性偏微分方程由形如的可积系统所定义的Miura变换的分类问题.由于从如上可积系统中的第一个方程可解得u = v x?ω( v),代入可积系统中的第二个方程即可得到v所满足的偏微分方程,因此在分类过程中不必对v的方程附加任何限制条件. 本文证明了这样的非线性偏微分方程等价于如下四类: 第一类是u xx = p (u ) ? p′(u )u x + ut(其中p是任意非线性光滑函数),相应的可积系统为其中λ是任意常数.此时v满足非线性偏微分方程 第二类是Burgers方程u xx = 2uu x + ut,相应的可积系统为其中λ是任意常数.此时v满足非线性偏微分方程,该方程与Burgers方程等价; 第三类是(其中p是任意光滑函数,μ是任意非零常数),相应的可积系统为 其中λ是任意常数.此时v所满足的方程为 第四类是u xx =λu x + ue u u x + e uut(其中λ为任意常数),相应的可积系统为此时v所满足的方程为[ln( ) 1] 作为上述Miura变换的应用,我们利用u -方程的一些特解,通过求解可积系统而生成相应v-方程的解.


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