推广的李群理论在变系数高次高维非线性演化方程中的应用

【摘要】：本文主要研究高维变系数非线性Kadomtsev-Petviashvili方程和高次变系数非线性的薛定谔方程的精确解的问题。 首先,本论文简要介绍了现在普遍应用的一些求解非线性演化方程的方法。(1)如Hirota双线性直接法；(2)改进的双曲函数法；(3)多线性分离变量法；(4)多重尺度法。(5)经典李群约化法；(6)推广的李群法等。 其次是上述的推广对称群方法在高维和高次变系数非线性演化方程中的应用。对于变系数非线性演化模型,用推广的对称群法寻找对称群,将变系数看成和原方称物理场同等地位的独立变量,用单参数变换群作用在改变后的模型上,就可得到两个模型之间的有限变换。然后利用该限变换就可以在常系数和变系数方程的解之间建立某种关系。这样就很容易得到方程的一些新的精确解。 将推广的对称群法运用到高维变系数Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程,将每个维度前的变系数以及各高阶系数都看成和原来的物理场具有同等地位的独立变量,如此一来,虽然看起来比较复杂,但却很容易求解。然后得到了此模型推广的对称群和相应的有限变换,并利用该变换求解了具有任意变系数得KP方程,得到的结果有一般性。然后选择了一些特殊的函数作为变系数求得某些精确解。 在求三,五次的变系数非线性薛定谔方程(CQNLS)的推广对称群时,把三,五阶非线性项统一写成函数W,那么就将三次和五次非线性变成了一个较简单的非线性模型,再把W当作跟u具有同等地位的独立变量,而它不仅是z,t的函数,更包括了|u|,|u|2,|u|4。在选则指数函数作为变系数后,得到了相应的新的变系数CQNLS方程以及它的精确解,这些解可以很好的解释色散缓变光纤中的孤子传播特征,也可以为光纤放大器的设计提供理论依据。 最后,本文提出一些有待解决的问题。