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截断不变展开法求解非线性偏微分方程

吴江龙  
【摘要】:本文基于符号计算,研究了非线性数学物理中的孤子与可积系统理论。主要开展了三个方面的工作:在Conte展开验证法的基础上,对这一方法进行优化,总结出用截断不变展开法去求解实际物理模型;以简单的含有色散项的广义五阶KdV方程和奇异扰动Boussinesq方程作为例子,去展示这种展开法是如何求得方程合理近似解甚至是精确解的;将这种方法进行推广应用,用这种方法去解其他的非线性偏微分方程。 第一章作为绪论部分,重点介绍了孤子理论中的可积系统、非线性系统的数学研究手段、Painlevé分析法,符号计算的背景与发展现状,并且阐明了本论文的主要工作。 第二章是对第一章理论的继承和发展。在Painlevé分析方法基础上,总结出截断不变展开法求解非线性偏微分方程。分别用这一方法求出含有色散项的广义五阶KdV方程的三种近似解,Boussinesq方程的两种近似解。对这两个方程的近似解进行相应的处理,得出了方程的精确解。 第三章将第二章的方法进行推广应用,将这一方法应用求解含有色散项的广义四阶KdV方程、KdV-Burgers方程以及Burgers方程,得出它们的近似解以及KdV-Burgers方程、Burgers方程新的精确解。 第四章对全文的工作进行了总结和概括,并对下一步需要进行的研究工作进行了展望。


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