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Painlevé分析和函数展开法在非线性偏微分方程求解中的应用

杨铎  
【摘要】:随着非线性科学的迅速发展,寻找非线性偏微分方程的精确解在孤子理论中扮演着重要的角色。Painlev′e截断展开法和函数展开法是求解非线性偏微分方程两种非常简单且有效的方法。本文主要运用Painlev′e截断展开法和函数展开法来研究(2+1)维BKK方程、非线性Boussinesq方程以及(2+1)维Boussinesq方程解的问题。 在(2+1)维BKK方程方程研究方面,本文首先应用推广的tanh函数展开法,得到BKK方程的新的Ba¨cklund变换,再由其种子解出发,得到了BKK方程的多个精确解。 在非线性Boussinesq方程的研究方面,本文首先由Painlev′e截断展开得到方程的留数对称,通过对留数对称的局域化以及初值问题的求解得到方程的自Ba¨cklund变换,然后通过截断Painlev′e展开法和tanh函数展开法,得到非线性Boussinesq方程的Ba¨cklund变换和一些解之间的相互作用,并给出了一些特殊的解结构,特别是孤子与椭圆周期解的相互作用。 在(2+1)维Boussinesq方程研究中,首先介绍了相容的Riccati方程展开可解性的概念,然后应用相容的Riccati方程展开法,给出(2+1)维Boussinesq方程的相容性条件,通过对相容方程和Riccati方程的求解,得到方程新的精确解以及一些具有特殊结构的解。


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