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函数展开法在求解非线性偏微分方程中的应用

余炜沣  
【摘要】:物理学上许多的问题都可以被归结为数学模型。因此,寻找由数学模型带来的非线性偏微分方程的精确解不仅在孤子理论中有着十分重要的地位,而且有助于我们加深对物理学本质的认识。函数展开法在求解非线性偏微分方程中具有不可替代的作用,其中推广的tanh函数展开法和相容的Riccati展开法是两种十分简捷有效的方法。本文主要运用这两种方法来研究Gardner方程、(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky方程以及一类耦合Boussinesq型方程解的问题。在Gardner方程的研究方面,本文首先简单地介绍了Painlev′e截断展开法和tanh函数展开法的基本思想和步骤,然后利用这两种方法得到了Gardner方程的解和相容性条件方程,然后通过将解写成椭圆函数形式,对相容性条件方程进行求解,最终得到了孤立子与椭圆周期解的相互作用。在Gardner方程研究方面,本文首先简要地介绍了相容的Riccati展开法,并给出了相容的Riccati展开可解性的概念,然后对Gardner方程应用相容的Riccati展开法求得其解与相容性条件,求解相容性条件和利用椭圆函数的定义,得到Gardner方程新的精确解以及一些具有特殊结构的解。在(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky方程研究中,本文运用相容的Riccati展开法,先求得(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky方程的解和相容性条件,然后通过对相容性条件进行求解,观察到(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky方程新的解之间存在着具有周期性扭结的相互作用。在一类耦合Boussinesq型系统研究中,本文同样运用相容的Riccati展开法,求得一类耦合Boussinesq型系统的解和相容性条件,然后通过求解其相容性条件,得到一类耦合Boussinesq型系统新的孤立波与其他非线性激发之间的相互作用。值得关注的是,我们可以得到一类耦合Boussinesq型系统的正弦孤立波解结构,这主要是利用了雅可比椭圆函数和第三类不完全可积椭圆积分。


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