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二元非线性算子方程解的存在性及其应用研究

郭挺  
【摘要】:本论文首先运用迭代技巧,研究反向混合单调算子耦合不动点的存在唯一性问题,获得了耦合不动点的存在唯一性及其迭代收敛性的结果;然后提出了τ-(?)-凹-凸算子这一新概念,并研究了该类算子的不动点的存在唯一性问题,获得了一系列新结果,并将所得结果应用于非线性Hammerstein积分方程的解的存在唯一性研究中;最后,针对二元非线性算子,提出了g-可比较算子这一新概念,它是混合单调算子和反向混合单调算子的推广,并研究了这一类算子的g-耦合不动点的存在唯一性问题,获得了一些新结果,作为应用,还给出了几个例子.本论文的主要结果叙述如下: 1.设E是实Banach空间,P(?)E是正规锥,A:P×P→P为反向混合单调的凝聚算子,存在u0,v0∈P,使得u0≤A(v0,u0)≤A(u0,v0)≤v0.则存在u*,v*∈[u0,v0],使得其中n=1,2,…且A在[u0,v0]×[u0,v0]中存在耦合不动点.并且 1)若u*=v,*,则A在P*={(x,y)∈P×P|(x,,y)≥(u0,v0)或(x,y)≤(v0,u0)}中存在惟一的耦合不动点(u*,u*),此时u*为A的不动点 2)若u*≠v*,则A在P*中存在耦合不动点(u△,v△),且(u*,v*)不是A的耦合不动点.另外,对于A在P*中的任何耦合不动点(r,s),必满足(u*,v*)(r,s)(v*,u*).若再设锥P(?)E是极小的,则对A的任何耦合不动点(x,y)必有下式不成立. 2.设E是实Banach空间,P是E中的正规锥A:P×P→P是混合单调算子,且是τ-(?)-凹-凸的.另外,存在h∈P+使得A(h,h)∈Ph,对任意的t∈(a,b),x,y∈£,有(?)(t,x,y)≥(?)(t,h,h)则A在Ph中存在唯一的不动点x*且对任意的x0,y0∈Ph,构造序列有 3.设(X,d)是一个完备的半序度量空间,F:X×X→X是连续的g-可比较算子且与g可交换,其中g:X→X是连续的.若F(X×X)(?)g(X)且下列条件成立: (1)存在修改的距离函数(?),(?),使得对一切满足g(x)与g(u)可比较,g(y)与g(v)可比较的x,y,v∈X成立. (2)存在x0,y0∈X,使得g(x0)与F(x0,y0)可比较,g(y0)与F(y,x0)可比较. (3)如果{xn}n=1∞是x中的可比较序列,则对任意的s,l∈N++,xs与xl可比较.则F存在g-耦合不动点,即存在(x,y)∈X×X,使得g(x)=f(x,y), g(y)=F(y,x). 4.设(X,d)是一个完备的半序度量空间,F:X×X→X是连续的g-可比较算子且与g可交换,其中g:X→X是连续的.若F(X×X)(?)g(X)且下列条件成立: (1)存在修改的距离函数(?),(?),使得对一切满足g(x)与g(u)可比较,g(y)与g(v)可比较的x,y,u,v∈X成立. (2)存在x0,y0∈X,使得g(x0)与F(x0,y0)可比较,g(y0)与F(y0,x0)可比较. (3)如果{xn}n=1∞是X中的可比较序列,则对任意的s.l∈N+,xs与xl,可比较.则F存在g-耦合不动点,即存在(x,y)∈X×X,使得


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