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孔隙热弹性结构的线性和非线性静动力学特性研究

李莹  
【摘要】:孔隙热弹性材料具有结构和功能的双重用途,多见于天然多孔材料、人造多孔材料和生物工程材料等,由于其具有相对密度低、比强度高、重量轻、隔热等优点,在工程技术领域具有广泛的应用前景。半个世纪以来,对孔隙热弹性材料理论的研究引起了很多学者的兴趣,目前大部分结果都是在线性假设下得到的,且多仅限于频率域内的研究,但是工程和科学中的固体力学问题,本质上属于非线性范畴,因此,开展孔隙热弹性材料和结构的非线性静动力学特性研究不仅具有学术意义,对于工程设计部门也有一定的参考价值。 本文在介绍了孔隙热弹性材料和结构的研究目的和意义,孔隙热弹性力学的理论、数学模型和求解方法的研究现状、研究难点、以及存在的不足等基础上,基于孔隙热弹性线性理论,对具有几何非线性的孔隙热弹性力学的基本理论及其结构的线性和非线性静动力学行为进行了比较系统的理论分析和数值模拟,获得了一些新的理论结果和数值计算结果。主要的工作如下: 1、建立了有限变形孔隙热弹性固体的广义变分原理及相应的数学模型。在连续介质力学的框架内给出了有限变形孔隙热弹性固体的基本方程,得到有限变形孔隙热弹性体的泛函,建立了相应的广义Hamilton型变分原理和数学模型。此外,引入孔隙百分比变化和温度变化引起的力矩,在有限变形条件下,以Kirchhoff-Love假设为基础,将Hamilton变分原理推广到有限变形孔隙热弹性结构中:(1)建立了考虑中面力、中面惯性和转动惯性影响的孔隙热弹性薄板的大挠度理论,它是孔隙热弹性Karman-型薄板的一个完全的非线性数学模型。(2)建立了考虑轴力、中性层惯性和转动惯性影响的孔隙热弹性梁的一般非线性数学模型。这些模型,为求解各种具体问题奠定了必要的理论基础。 2、给出孔隙热弹性梁非线性数学模型的数值算例,研究相应的非线性力学特性。(1)对于两端简支的孔隙热弹性梁,采用Galerkin平均化方法对数学模型进行简化,得到一个截断的非线性系统,然后采用变步长Runge-Kutta方法对截断系统进行数值计算,详细考察了有(无)孔隙热弹性梁、有(无)孔隙弹性梁四种情况下系统的动力学特性,并研究了参数的影响,得到了一些有益的结论。(2)对于两端固支孔隙热弹性梁,采用微分求积方法(DQM)对非线性控制方程和边界条件进行空间离散,然后对梁的非线性静动力学问题分别采用Newton-Raphson方法和Runge-Kutta方法进行数值求解,同样比较了上述四种梁的非线性力学行为,考察了参数的影响。(3)研究了气动载荷作用下,孔隙热弹性梁的非线性气动力学行为。研究表明,与无气动力作用的孔隙热弹性梁相比,在气动力作用下孔隙热弹性梁更容易发生无界不稳定的现象。 3、基于提出的孔隙热弹性薄板的完全非线性数学模型,用Galerkin平均化方法对四边简支矩形板的数学模型进行简化,然后采用变步长Runge-Kutta方法对截断系统进行数值计算,得到非线性系统的时程曲线等动力学特性。比较了1阶和2阶Galerkin截断的数值结果。详细考察有(无)孔隙热弹性板、有(无)孔隙弹性板四种情况下系统的动力学特性,并研究了参数的影响。另外,研究了在气动载荷作用下,孔隙热弹性板的非线性气动力学行为。研究表明,与无气动力作用的孔隙热弹性板相比,在气动力作用下孔隙热弹性板更容易发生无界不稳定的现象。 4、建立任意形状的孔隙热弹性薄板的线性数学模型。作为一种应用,得到了孔隙热弹性圆薄板轴对称静力学问题的解析解;比较了有(无)孔隙和有(无)温度影响下圆薄板的挠度和孔隙百分比的响应情况,研究了板的厚径比、温度等对挠度和孔隙百分比的影响。 5、研究孔隙热弹性半无限平面的力学行为。基于孔隙热弹性线性理论,首先建立孔隙热弹性半无限平面在表面有限区域受到连续谐载荷作用下的稳态动力响应模型。分别采用半解析方法,即积分变换方法(ITM)中的Fourier变换和相应逆变换的数值计算方法,以及微分求积单元法(DQEM)进行求解。可以发现,ITM对于半无限平面问题的求解具有独到的优势,因其能得到变换域内各变量的解析表达式,在此基础上再施以逆变换或者进行数值积分,能方便地得到比较精确的解。另外,比较ITM和DQEM的数值结果发现,两者非常吻合。可见,DQEM对于求解载荷不连续的问题,具有计算量小,精度高等优点。 6、研究在移动周期载荷作用下2维孔隙热弹性介质动力学响应问题。基于孔隙热弹性线性理论,首先建立了在移动周期载荷作用下2维孔隙热弹性平面无限长条动力学问题的数学模型,其中包括动量平衡方程、平衡力的平衡方程、能量方程、周期性边界条件、初始条件等。在此基础上,分别采用DQM和有限差分法(FDM)对控制方程进行空间和时间离散并求解。作为数值算例,分析了在平面简谐波载荷以及极限车载作用下孔隙热弹性平面无限长条的瞬态动力学特性,考察了车速对沉降的影响。通过计算和分析看到,DQM对于处理具有周期性边界条件的问题,同样具有精度高、收敛性好,计算效率高的特点。 7、研究有限变形条件下孔隙热弹性半平面的非线性力学特性。基于提出的有限变形孔隙热弹性固体的数学模型,计算中,在空间域内采用DQM对非线性控制方程和边界条件进行离散,在时间域内采用FDM对时间导数进行离散,最后采用Newton-Raphson方法对非线性代数方程组进行迭代求解。研究发现,当载荷较大时,线性模型和非线性模型得到的结果有所不同,且DQM具有计算量小,精度高的优点,用于非线性问题的求解具有独到之处。 通过对孔隙热弹性材料和结构的线性和非线性力学特性的研究,得出的主要结论是,孔隙的存在使材料和结构中的变形增加,而温度的影响则使变形减小,这是因为外力的功部分转换为热能,引起耗散的结果。 孔隙热弹性问题本质上是一种多场耦合问题,加上结构非线性变形的影响,得到解析解或者半解析解非常困难,所以一般只能采用适当的数值方法求解。微分求积法(DQM)由于不依赖泛函,具有公式简单、计算精度高、计算量和内存需求量少、收敛性好等优点,所以本文在空间域内采用DQM进行离散,同时结合其他数值计算方法,如Newton-Raphson方法和Runge-Kutta方法,成功地求解了孔隙热弹性梁、板和半平面的线性和非线性静动力学问题以及具有周期性边界条件的问题。也将DQM进行推广为微分求积单元法(DQEM),求解了非规则区域和具有不连续性条件的问题,拓宽了DQM的运用领域。


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