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图的某些控制参数的计算

赵衍才  
【摘要】:经过几十年的发展,图的控制参数理论已经成为图论中非常活跃的研究领域之一.基于不同的实际背景,人们提出了许多控制参数.控制参数理论快速发展的主要原因是:图的控制参数理论与组合优化、理论计算机科学、社会科学等学科有着密切关系;图的控制参数理论可直接应用于设施选址、监视系统、通信网络等现实问题中.目前,关于图的控制参数的研究主要集中在算法及复杂性研究、界、极值图刻画、精确值计算等方面. 本文考察了图的控制数、符号控制数、减控制数、符号全控制数、减全控制数、配对控制数、混合控制数、符号混合控制数、k-距离控制数以及k-步长控制数等控制参数,主要从算法复杂性和精确值计算两个方面对这些参数进行了研究.所做的主要工作如下: ·在第二章,主要研究了符号控制数、减控制数、符号全控制数、减全控制数、配对控制数等常见控制参数,求出了这些控制参数在某些特殊图类上的精确值.在本章的最后一节,还证明了控制数问题在最大度不超过4的平面二部图上是NP-完全的. (有关结果已在《Utilitas Mathematica》发表一篇,录用一篇). ·在第三章,较系统地研究了图的混合控制问题的算法复杂性.我们给出了求树的混合控制数的两个多项式时间算法,并论证了在分裂图上求解这一问题是NP-完全的. (有关结果己在《Theoretical Computer Science》发表). ·在第四章,主要研究了图的符号混合控制问题.吕新忠[76]提出了这一概念并给出了路和圈的符号混合控制数的值,我们证明了该问题在平面图上是NP-完全的,并给出了完全图和完全二部图的符号混合控制数的精确值. (有关结果已投稿). ·在第五章,主要研究了图的距离控制和步长控制问题.首先给出了求树的2-步长控制数的一个线性时间算法,然后类似地给出了求树的k-距离控制数的一个新的线性时间算法. (有关结果已投稿).


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