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集值优化的最优性条件

周志昂  
【摘要】:向量优化是优化理论的一个重要分支,集值优化又是向量优化的重要组成部分,它在数学规划、非光滑分析、数理经济、工程学、管理科学等许多领域有着非常广泛的应用。近来,它引起了许多学者的兴趣。我们注意到,在研究优化问题时,序锥的拓扑内部是一个非常重要的概念,但当序锥的拓扑内部为空时,我们如何建立最优性条件呢?我们也注意到,在优化问题的最优性条件中,凸性扮演着非常重要的角色,然而,我们发现一些优化问题并不满足凸性条件。因此,推广序锥通常意义下的拓扑内部和削弱函数的凸性就非常必要。众所周知,寻找向量优化问题“解”是非常困难的。因此,在不同解的意义下,建立向量优化问题的最优性条件就非常有意义。本文,我们利用序锥不同的弱化内部,在不同的广义凸性和有效性意义下,建立了一系列集值优化问题的最优性条件。全文共分五章,主要内容如下: 在第一章,首先我们回忆了各种广义凸集值映射的概念。其次,我们回忆了择一定理和最优性条件的进展。再次,我们回忆了向量集值优化问题解的有效性和对偶理论。最后,我们给出了本文的动机和研究的主要内容。 在第二章,首先,在序线性空间中,我们用向量闭包定义了近似锥次似凸集值映射,获得了近似锥次似凸集值映射的五个等价性命题以及乘积空间中近似锥次似凸集值映射部分标量化后仍然是近似锥次似凸集值的性质。其次,在Benson真有效性意义下.我们给出了近似锥次似凸集值优化问题的Benson真有效解与其标量化问题最优解之间的关系,我们获得了集值优化问题的Lagrange乘子准则和鞍点定理。再次,在序线性空间中,我们获得了相对代数内部的一些性质,研究了用相对代数内部定义的广义锥次似凸集值映射的性质。最后,我们获得了一个基于相对代数内部的广义锥次似凸集值映射的分离性质,并利用这个分离性质建立了一个Kuhn-Tucker最优性必要条件。 在第三章,我们在分离的局部凸空间中研究集值优化问题。首先,我们获得了利用相对拓扑内部刻画的广义锥次似凸集值映射的一些性质。其次,我们利用基于相对内部的广义锥次似凸集值映射的一个分离性质,获得了(?)Kuhm-Tucker最优性充要条件和一个标量化定理。再次,我们利用拟相对内部定义了广义锥次似凸集值映射,分析了基于拟相对内部的分离定理的条件,获得了一个基于拟相对内部的广义锥次似凸集值映射的分离性质。最后,利用我们所获得的分离性质,建立了一系列最优性条件,包括Kuhn-Tucker条件,标量化定理,鞍点定理和对偶定理。 在第四章,我们在局部凸空间中,研究了集值映射的近似严次微分和集值优化问题的最优性条件。首先,我们获得了集值映射近似严次微分的存在性条件和性质。其次,我们获得了一个用近似严次微分刻画的广义Moreau-Rockafellar定理。最后,在近似锥次似凸集值映射的假设下,我们获得了用近似严次微分刻画的最优性条件。 在第五章,在强G-预不变凸函数的假设,我们研究向量值优化问题的最优性条件。首先,我们给出了强G-预不变凸函数与G-预不变凸函数,严格G-预不变凸函数和半严格G-预不变凸函数之间的关系。最后,我们在强G-预不变凸函数的假设下,获得了向量优化问题的m阶局部极小元是m阶全局极小元。


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