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特殊线性方程组求解的相关问题研究

谭福平  
【摘要】:本文分为两个部分,第一部分主要研究了一类系数矩阵为三对角矩阵、五对角矩阵或周期分块三对角矩阵等稀疏矩阵的线性方程组求解问题,给出了一些简单实用的直接求解算法和后向舍入误差估计结果。第二部分主要基于H-矩阵和单调矩阵等方面的理论和方法,研究了广义交替迭代法和并行交替法等迭代法求解具有这类系数矩阵的方程组的收敛性问题。 本论文基于上述两个部分而展开,主要结果如下: 1)首先本文用向后误差分析方法分析了追赶法求解三对角方程组的舍入误差,得到了与其系数矩阵的阶数无关的扰动矩阵误差上界。而对于列选主元的Gauss消去法,这项误差上界含有其系数矩阵阶数的三次方项。对于不可约对角占优的三对角方程组,我们给出追赶法的简单改进算法,并给出了其向后误差估计结果。 2)五对角方程组也可以用变形的追赶法来求解,我们对此进行了向后误差分析,得到了与其系数矩阵的阶数无关的扰动矩阵误差上界,此误差界远远好于列主元Gauss消去法的扰动矩阵的理论误差界。 3)对于系数矩阵为分块对角占优的分块三对角矩阵的线性方程组,变形的分块追赶法是一种很好的求解算法;而对于非分块对角占优的分块三对角方程组,变形的分块追赶法经常表现不佳。如果分块三对角方程组次对角块“占优”或易于求逆,则用双参数法求解之是一种很好选择。针对这类矩阵,我们在双参数法的基础上了进行了改进,提出了可以并行计算的双向双参数法;在系数矩阵中心对称的情况下,文中给出了其简化的计算形式,相应的数值算例显示其计算速度和数值稳定性明显优于双参数法。 4)对于系数矩阵为分块对角占优的周期分块三对角矩阵的线性方程组,变形的分块追赶法也是一种不错的求解算法;而对于非分块对角占优的周期分块三对角方程组,变形的分块追赶法的效果并不好。如果周期分块三对角方程组次对角块“占优”或易于求逆,则用三参数法求解之是一种很好选择。针对这类矩阵,我们在三参数法的基础上了进行了改进,提出了可以并行计算的双向三参数法;在系数矩阵中心对称的情况下,可以节约接近一半的计算量,数值算例也显示其计算速度和数值稳定性明显优于参数法。另双向三参数法很容易推广到求解系数矩阵为“N”型结构的稀疏矩阵的线性方程组,并且有与双向三参数法求解系数矩阵为分块周期三对角的线性方程组类似的性质;当系数矩阵为中心对称的“N”型结构的稀疏矩阵时,也可以节约接近一半的计算量。 5) J.-J. Climent和C. Perea在文献[Appl. Math. Comput. 143 (2003) 1–14]中提出的求解线性方程组的广义交替迭代法,并且给出了当对单调的系数矩阵进行第一类或第二类弱非负分裂,或者对对称正定的系数矩阵进行P-正则分裂时,广义交替迭代法的收敛性结论。我们研究了系数矩阵为非奇异H-矩阵的情况,当使用H-分裂时,给出了广义交替迭代法的收敛性结论,及其迭代矩阵谱半径的上界。此外,当系数矩阵为单调矩阵,使用弱非负分裂时,给出了该方法的迭代矩阵谱半径比较定理。也进行了数值例子说明。 6) J.-J. Climent和C. Perea等在文献[Appl. Math. and Comp., Vol.148, (2004), pp.497-517]中提出的两个用于求解线性方程组Ax=b的并行交替迭代法,并且给出了当对单调的系数矩阵进行第一类或第二类弱非负分裂和对称正定矩阵的系数矩阵进行P-正则分裂时,两个并行交替算法的收敛性结论。本文中,当对为非奇异H-矩阵的系数矩阵A作H-分裂时,我们给出了这两个并行交替迭代法的收敛性定理和数值例子说明。


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