简单光滑精确罚函数方法的研究

【摘要】：约束最优化问题广泛存在于经济、工程、国防、能源、交通等许多部门以及信息科学、环境科学与军事等领域。罚函数方法是求解约束最优化问题的主要方法之一，其思想是将约束最优化问题转化为与之等价的一个或一系列无约束最优化问题进行求解。精确罚函数方法是指将原约束优化问题转化为一个无约束或含箱子约束的最优化问题，这样可以避免非精确罚函数方法，当罚参数太大时容易出现的罚函数的Hessian阵不适定的病态情况。但是，传统的罚函数要么简单精确，但不光滑；要么简单光滑，但不精确；要么精确光滑，但不简单。这里的“简单”是指在罚函数的表达式中仅含原问题目标函数和约束函数的原始信息，而不含其梯度信息。因此，对于传统的精确罚函数(可做不简单或简单不可做)，在实际算法中，很难应用一些以梯度为基础的快速无约束算法。所以，对于约束最优化问题，构造简单精确光滑的罚函数将是非常有意义的。 本文给出了几个简单精确光滑的罚函数。第一章，简要介绍了约束优化问题的局部最优性条件和求解约束最优化问题的序列二次规划方法及罚函数方法的已有成果。第二章，通过增加一个变量，对不含箱子约束的优化问题给出一个简单精确罚函数。在第2 2节中，对含等式约束最优化问题，通过增加一个变量，我们给出一个简单精确罚函数，将原约束优化问题转化为一个无约束的罚问题，在一定的条件下讨论了此罚函数的光滑性和精确性。在第2 3节中，对含不等式约束最优化问题，通过增加一个变量，我们给出一个新的简单精确罚函数，在一定的条件下，证明了该函数具有一定的精确性。类似于第2 2，2 3节的讨论，第2 4节，对一般约束最优化问题，通过增加一个变量，我们给出一个简单精确罚函数，在一定的条件下，该罚函数与2 2节、2 3节中所给出的罚函数具有相同的性质。 第二章所给出的简单精确罚函数并不是对所有的优化问题都能保证其在（？）=0处是连续可做的，且具有以下性质：对充分大的δ0所构造的罚问题的每一个具有有限极小值f_σ(x*，ε*)的局部极小点(x*ε*，)均有ε*=0，这样在算法实现时，只有当约束函数满足一定条件时，才能结合连续可做的无约束优化算法来求解相应的罚问题，从而得到原问题的解。为此，第三章，对一般约束优化问题，我们构造了三个简单光滑精确罚函数。我们在3.2节中给出了一个具有一次连续可做性的简单精确罚函数；在3 3节和3 4节给出两个具有二次连续可做性的简单精确罚函数；在3.5节中，基于3.3节给出的罚函数，我们给出了两个数值算例。 第四章，结合求解无约束最优化问题全局极小解的填充函数方法，我们给出了基于简单精确光滑罚函数的求解约束最优化全局极小解的一个算法。