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非线性波动模型的相干结构及其相互作用

张解放  
【摘要】:孤立波,作为一种特殊的相干结构,反映了一类稳定的自然波动现象。本学位论文以源于实际水波和其它物理问题的2+1维(二个空间变量,一个时间变量)非线性波动模型(方程)为研究对象,深入研究了它们的求解问题,揭示出2+1维非线性波动模型不仅蕴涵比1+1维非线性波动模型更加丰富的相干结构,而且具有多种不同方式的相互作用性质。主要工作如下: 第一部分:研究2+1维非线性波动模型的求解问题。在三个方面展开了工作:(1) 利用Hirota双线性方法进一步研究了2+1维Schrdinger方程,2+1维Maccari方程和2+1维破裂非线性波动方程,获得了具有不同特征并带有任意函数的广义dromion结构。(2) 反散射方法可以看成是非线性波动问题中的Fourier变换法,但分离变量法对非线性波动问题的推广直到最近才有所突破。变量分离法有效地解决了2+1维非线性波动模型的求解问题。我们分别利用Painlevé截断展开方法和齐次平衡方法实现了多类2+1维非线性波动模型,如2+1维Nizhnik-Novikov-Veselov方程,2+1维色散长波方程,2+1维长波短波共振作用方程,2+1维长色散波方程,2+1维广义Nizhnik-Novikov-Veselov方程等的变量分离求解,给出了一些新的结果,(3) 直接代数法在孤立波的求解中具有重要的地位,由于计算机符号软件的广泛应用,对直接代数法的完善、发展和应用起了很好的作用。我们对近年创立的Jacobi椭圆函数方法和形变映射方法作了介绍和讨论,并具体研究了多类2+1维非线性波动模型,如2+1维Nizhnik-Novikov-Veselov方程,2+1维长短波共振方程,2+1维破裂孤子方程,2+1维非线性Burgers方程,2+1维Wu-Zhang方程,2+1维Schr(o|¨)dinger方程,2+1维Boussinesq方程,给出了双周期波结构和迭加椭圆函数周期解。 第二部分:研究不同类型的2+1维相干结构的构造和它们相互作用问题。在诸多专家学者相关研究工作的启示和基础上,从2+1维非线性波动方程的变量分离通用解表示出发,通过适当地选择这些任意函数,构造起2+1维非线性波动模型具有十分丰富的相干结构,包括多线孤立波解,多lump解,多solitoff解,多dormion解,多compacton解,多peakon解,多foldon解,格子dormion解,振荡型dormion解,环孤子解,运动和静止呼吸子解,瞬子解,双周期波斑图结构,混沌斑图结构,分形斑图结构等等。通过利用Maple,Mathematica等符号软件处理复杂的求解运算,极大地提高了研究工作的深入和效率。借助图形分析和数学解析法,对各种相干结构进行了分析研究,总结归纳了已经揭示的各类相干结构的特征和数学机理,而且许多是1+1维情形所没有的现象。Dromion为 所有方向都呈指数衰减的相千局域结构,可以由直线孤子,也可以由曲线孤子 形成,不仅局域在直线或曲线的交点,也可以存在与曲线的近邻点上.Solito仔是 非局域的,除了一个特定方向外,其他所有方向都为指数衰减,二直线孤子由 于共振的影响变为一半直线孤子一sollto任解.Dro而on格子为多dromion点阵.振 荡形dromion解在空间某一方向上产生振荡.多团解,环孤子为非点状的局域激 发,环孤子解在闭合曲线的内部不为零,闭合曲线外部指数衰减呼吸子无论幅 度、形状、峰间的距离,峰的数目都进行了呼吸.瞬子的幅度随时间的变化而变 化.周期性孤子解在空间分别呈现周期性特征.尖峰孤立子解在波峰处有一个尖 点,其一阶导数不连续.紧孤立子解就是那些在某个有限区域上高度不为零,而 在这个有限区域之外其高度为零的一类特殊行波.褶皱孤立波,可以在两个方向 同时褶皱,也可以在一个方向褶皱.双周期波斑图结构在两个空间方向都表现为 周期性,而且发现周期、振幅都可以变化.混沌斑图结构和分形斑图结构展示出 孤立波形态中的混沌和分形特征.通过图形分析方法,本文还考察了多种2斗一1维 相干结构之间的相互作用过程,发现2十1维相干结构的相互作用性质要比1+1维 孤子丰富的多,其相互作用可以是弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞, 并具有产生、湮没、分裂和聚合等等现象.


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