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全局优化的几种确定性方法

吴至友  
【摘要】:全局最优化问题广泛见于经济模型,金融,网络交通,数据库,集成电路设计,图象处理,化学工程设计及控制,分子生物学,环境工程学等等。因为存在多个不同于全局最优解的局部最优解,而传统的非线性规划方法都只能求其局部最优解,所以不能顺利地应用于求解全局最优化问题。在过去的几十年里,由于全局最优化在许多领域的重要应用,其理论和方法已经得到了很大的发展。这些方法主要包括确定性方法和随机方法。 本文给出了求解全局最优化问题的几种确定性方法。第一章,概述了目前国内外几种主要的全局最优化确定性方法。第二章,对具有一定特殊结构的全局最优化问题给出了一些凸化、凹化的方法,通过这些方法可把相应的全局最优化问题转化为等价的凸规划或凹极小或反凸规划或标准D.C.规划问题。由于凸规划问题的任一局部最优解都是全局最优解,故若一个规划问题能转化成一个等价的凸规划问题(这类规划问题称为隐凸规划问题),则对这种规划问题,只需用局部极小化方法就可得到其全局最优解.而目前关于凹极小、反凸规划和D.C.规划问题也有了很多较为成熟的求其全局最优解的方法,如:外逼近法,分支定界法等等。所以如果一个规划问题能转化为一个等价的凹极小或反凸规划或D.C.规划问题,则也可以通过解这些转化后的规划问题,来得到原问题的全局最优解或近似全局最优解。第二章内容安排如下:第2.2节,对严格单调函数给出了一个一般形式的凸化、凹化变换公式,通过该变换公式可将一个严格单调的非线性规划问题转换为一个等价的凹极小问题或反凸规划问题或标准D.C.规划问题(一般情况下,不能转化为凸规划问题)。第2.3节,对约束函数具有一定单调性的非单调规划问题给出了其目标函数的一个一般形式的凸、凹化变换公式,通过这个变换公式可直接将一个约束函数单调而目标函数非单调的非线性规划问题转化为一个等价的凹极小问题或反凸规划问题或标准D.C.规划问题(一般情况下,不能转化为凸规划问题)。第2.4节,利用函数的凸化变换公式,首先给出了一个非凸函数(不一定单调)能转化为一个凸函数的一些充分性条件,这类非凸函数称为隐凸函数,并进而讨论了几种凸性之间的关系,然后给出了一个非凸规划问题能转化为一个等价的凸规划问题的一些充分性条件,这类规划问题称为隐凸规划问题.接着给出了二次规划问题为隐凸规划问题的一些充分条件,特别地,针对某些特殊二次规划问题给出了由其系数直接判定其为隐凸规划问题的充分条件。最后讨论了只有一个约束的一维二次规划问题为隐凸规划问题的概率,所得的概率表明这类特殊的规划问题是隐凸规划问题的可能性是很大的。 第三章,对一般结构的无约束全局极小化问题给出了求其全局极小点的一些方法。这些方法的共同特点是通过已经求得的局部极小点x~*构造辅助函数,然后局部极小化辅助函数,若x~*不是全局极小点,则可以得到比x~*更好的一个点(“更好” 指该点对应的原目标函数值比x,对应的原目标函数值更小),接着从这个点出发, 局部极小化原问题以得到原问题的一个更好的局部极小点,最终得到原极小化问题 的全局极小点或近似全局极小点.第三章内容安排如下:第3.2节,给出了填充函 数的一种新定义及满足这种新定义的一些填充函数,并利用这些填充函数,给出了 求无约束全局极小化问题的一种新的填充函数法及这种新的填充函数法的一种改进 方法,称之为拟填充函数法.第3.3节,提出了一种新的辅助函数,称之为平稳点 函数,利用这种平稳点函数给出了求无约束全局极小化问题的一种新的方法,称之 为平稳点函数法,并给出了这种平稳点函数法的一种改进方法,称之为拟平稳点函 数法.第3.2节和第3.3节后面都给出了一些算例,这些算例说明了所给出的这些 方法都是有效的.


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