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数学物理中反问题与边值问题的积分方程方法

徐定华  
【摘要】:本文主要围绕数学物理中的若干类反问题与边值问题进行研究,包括Hausdorff矩问题、弹性接触反问题、热传导方程反问题、Laplace方程Cauchy问题和二阶椭圆型方程组非线形边值问题等。随着科学技术的纵深发展和社会与经济的全面进步,越来越多的问题可归结为上述问题,如地质勘察、无损探伤、CT技术、军事侦察、环境治理、遥感遥测、信号处理、控制论、经济学等。本文创造性地应用积分方程方法,借助现代数学手段,着重研究这些问题的可解性条件、条件适定性(特别是条件稳定性),构造稳定化算法,并进行数值模拟。论文的主要成果包括: 利用积分方程方法讨论通过有限个矩量求解Hausdorff矩问题,我们先将矩问题化为第一类Fredholm积分方程,分析该问题的不适定性。由于问题的不适定性,求解变得非常困难。为克服困难,我们先讨论矩问题的条件稳定性(包括整体估计和局部估计),创造性地获得了对数型稳定性结果。并且基于稳定性,结合Tikhonov正则化方法,构造稳定化算法,成功地获得了矩问题的近似解——正则化解与精确解的整体误差估计和局部误差估计。利用有限元方法(有限维空间逼近)进行离散和数值模拟,数值实验结果很好地验证了算法的稳定性和有效性。本文提出的矩问题的稳定化算法可用之于Laplace方程Cauchy问题和一些反问题的数值求解。 在弹性理论中,接触反问题是一类重要的问题,属于一 2001年上梅大学博士学位论文 类无损探伤间题.我们首先给出了接触反问题的一种合理提 法,即通过接触域外部的位移测量值决定不可直接测量的接 触域和接触域上的应力.从数学上证明了接触反问题提法的 合理性,第一次提出了接触反问题,并证明了其不适定性.为 决定接触域和接触域上的应力,必须克服不适定性,构造稳 定化算法,我们的基本思路是:先通过Fourier变换将接触反 问题等价地转化为第一类Redhofm积分方程,再讨论积分方 程解的唯一性条件和条件稳定性,从而通过位势理论创造性 地获得了接触反问题的唯一性和对数型条件稳定性,包括整 体和局部条件稳定性.最后构造反问题的Ti比onov正则化解 (近似解),利用稳定化估计证明了近似解的对数型整体误差 估计和局部误差估计,我们的方法独具创新,为其他接触反 问题的求解指明了方向. 本文讨论了高维情形下热传导方程中初始源项和中间某时 刻温度分布的决定问题,证明了热传导方程反间题的合理提法, 即通过部分边界或部分内部区域上、在有限时间内的温度分布 值决定温度的初始分布和中间某一时刻温度分布.分别利用 Carlemann估计、精确控制理论获得了初始温度分布决定的对数 性稳定性估计、中间时刻温度分布的Lipschitz型稳定性.基于 稳定性估计和正则化参数的先验选取,构造了正则化算法,获得 了稳定化解,证明了该稳定化解的收敛速率. 利用小波分析工具讨论了助place方程Cauchy问题的稳定 化求解,在小波多尺度分析中构造稳定化算法,获得了近似解 的H说der型误差估计. 利用积分算子理论、奇异积分方程理论,讨论了二阶椭圆型 方程组非线形边值问题(E2类和非瓦类),建立了与间题等价的 数学物理中反问题与边值问题的积分方程方法 奇异积分方程,并进而得到了问题的可解性条件及存在性证明. 为便于阅读,在本文开始还提纲掣领地叙述了反问题与边值 问题的基本思想与方法,本文结束时,对本文进行了总结和评论, 并对将来数学物理反问题和边值问题的研究进行了展望.


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