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具有分数导数型本构关系的粘弹性结构的静动力学行为分析

李根国  
【摘要】:利用分数微分型本构关系,对粘弹性结构的静、动力学行为进行理论分析和数值模拟。主要的工作如下: (1) 提出了一种只需要存储部分历史数据的分数积分的数值计算方法,并给出了误差估计。利用该方法可对包含分数积分和微分的积分一微分方程进行较长时间的数值模拟,克服了存储全部历史数据的困难,并能对计算误差进行控制。给出了两个算例,数值结果与精确值进行了比较,发现这个新方法具有较高的精度。 (2) 建立了描述具有分数导数型本构关系粘弹性柱动力学行为的数学模型,它是具有弱奇异性的非线性积分一偏微分方程,然后利用Galerkin方法将控制方程化归为弱奇异性的非线性积分一常微分方程。利用平均化方法的思想分析了粘弹性柱的动力学行为,给出了粘弹性柱运动稳定状态存在的条件,利用本文提出的一种存储部分历史数据的分数积分的计算方法,对不同参数的粘弹性柱的动力响应进行了长时间的数值模拟,计算结果与解析方法的结论比较吻合。也说明该算法是可靠的。 (3) 利用粘弹性材料的三维分数导数型本构关系,建立了粘弹性Timoshenko梁的静、动力学行为研究的数学模型。分析了梁在阶跃载荷作用下的准静态力学行为,得出了问题的解析解;考察了材料参数对梁的挠度的影响,说明分数导数参数对梁的力学行为影响是明显的。基于模态函数讨论了Timoshenko梁在横 2001年上海大学博士学位论文 向简谐激励作用下的动力响应,考察了剪切效应和转动惯性对梁 振动响应的影响.其剪切效应与梁的细长比有关,当细长比比较 大时,在静、动态情况下剪切效应都十分明显.利用作者提出的 分数积分的计算方法,对梁的动力响应进行了模拟,计算结果与 解析方法的结论比较吻合. (4)建立了具有分数导数型本构关系的粘弹性TimOshenk() 梁在有限变形情况下的控制方程,通过Galerklnl阶截断和2阶 截断得到了简支Timoshenko梁的运动的简化模型,它们分别是 关于挠度和转角的非线性积分一微分方程组.然后利用分数积分 的计算方法对这类非线性积分一微分方程组进行求解考察了载 荷参数和材料参数对Timoshenko梁动力响应的影响.随着载荷 参数的增加,Galerkinl阶截断和2阶截断系统均由周期1运动 发生分叉,变为多周期或拟周期或混沌运动相间出现的复杂状 态;随着材料参数的增加,材料的阻尼不断增加,这时系统由多 周期或拟周期或混沌运动变为周期l运动,因此,材料参数的增 加有利于结构的稳定性.综合使用非线性动力学中的各种经典 数值方法,揭示了非线性粘弹性Timoshenko梁丰富的动力学行 为.用数值方法比较了l阶和2阶截断系统的动力学行为,发 现它们定性相同,但定量性质略有偏差,例如,2阶截断的分叉 临界载荷略高于l阶截断的结果,说明1阶Galerkin截断系统可 能是一个偏于安全的简化模型. (5)利用分数导数型Lead~an本构关系建立了小变形情 况下Timoshenko梁的控制方程,然后用Galerkin方法简化了简 支梁的数学模型,得到了关于挠度和转角的具有弱奇异性的积分 一微分方程组.利用分数积分的计算方法对控制方程进行求解. 考察了载荷参数和材料参数对梁动力响应的影响,随着载荷的增 具有分数导数型本构关系的粘弹性结构的静动力学行为分析 加,系统由周期1运动发生分叉,变为多周期或拟周期或混沌运 动相间出现的复杂状态;随着分数导数参数的增加,材料的阻尼 不断增加,系统由多周期或拟周期或混沌运动变为周期l运动, 有利于结构的稳定性.综合使用非线性动力学中的经典方法,揭 示了非线性粘弹性Timoshenko梁丰富复杂的动力学行为.比较 了1阶和2阶Galerkin截断简化系统的动力学行为,发现它们定 性相同.


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