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求总极值的某些确定性算法——连续变量和整变量情况

田蔚文  
【摘要】:通常一个求总极值问题可以表述为:给定一个n维欧氏空间中的紧致集D(?)R~n,和一个连续函数f:A→R,(A(?)D)寻找一个点x~*∈D,对所有x∈D,满足f(x~*)≤f(x)。记作求总极值问题的方法在科学技术、工程设计、经济管理等方面有着很广泛的应用。本文主要研究讨论某些求总极值的确定性算法。 对一个连续函数而言,“全局信息”包括稠密性、李普希兹常数、一致连续常数、有界的高阶导数、函数的水平集、全局最优值等等。通常我们只能知道函数的一些极限性质和方向导数等“局部信息”,对这些“局部信息”我们已有许多成熟的处理方法,而对“全局信息”至今还没有非常完善的处理方法。一般地,利用“全局信息”构造的算法,大多有比较好的收敛性质;而从“局部”到“全局”的方法,要解决其收敛性一般都较困难。由于“全局”性的要求,使得在求解总极值问题的算法的研究中存在着一定的难度,其主要的难点是:现有的非线性优化的方法一般只能求出局部的最优点,此外,还缺少一个好的评判标准来判定一个局部最优解是否是全局最优解,从而使得那些利用导数、梯度和次梯度求局部最优解的方法难以找到全局最优解。近几十年来,关于求总极值问题的研究取得了一定的进展, 2000年上海大学博士学位论文 Galperin、郑权和Falk分别提出了关于全局解的一个评判标准。 同时许多学者提出了不少求解总极值问题的算法,主要有这样 几种途径:一种是逐次逼近全局解,有外逼近方法、分支定界 方法、区间方法和积分方法等;另一种是从局部解转向全局解, 有隧道函数方法和填充函数方法等.我们将在第一章介绍这几 种求总极值的确定性算法。 郑权提出的求全局优化的积分型方法,有很好的理论性质 和计算效果。但是,其实现算法的收敛性至今没有解决,并被 认为是一个难问题。我们对郑权等提出的积分型求总极值算法 作了修正,讨论了用均值一水平集求总极值的算法,这些算法 既保留了仅需要计算目标函数值的优点,又是一个可实现的具 有全局收敛性的算法。首先,在2.2中我们给出一个离散均值- 水平集求总极值的实现算法,该算法的主要思想是:在函数值 较好的点的邻域中多取点,在函数值较坏的邻域中少取点。同 时给出算法的终止准则,证明了算法的收敛性。然后,在2.3 中给出一个修正的求总极值的积分一水平集算法,该算法在每 一次迭代中,构造一个新函数,它与原目标函数具有相同的总 极值;在算法的实现时,我们用数论中确定性的一致分布的数 值积分来逼近水平值和水平集,且不改变搜索区间,避免了郑 权的实现算法中因用Monte一Carlo方法逼近水平集,并收缩迭 代区间而容易丢失总极值点的弱点;并给出了总极值存在的条 件;证明了实现算法的收敛性。在2.4中讨论了求约束总极值的 算法。最后,在2.5中给出了一些数值例子,说明我们的算法 是有效的。 葛人傅提出的求全局优化填充函数方法,其填充函数有缺 点,如果参数选择不当,会丢失全局最优点,或者用填充函数 求总极值的某些确定性算法 求出的点不是目标函数的较小的极小点。我们给出一类辅助函 数,在适当的条件下,证明了它们是一类填充函数,且是性态 较好的填充函数;并以此构造算法来求一般的非线性规划和非 线性整规划的全局解。在3.2中,我们给出一个仅含一个参数 的填充函数P(x,x*,P);在33中给出另一个填充函数 P(x,二‘,p,川,用它来构造算法,求解非线性规划的总极值;数 值计算表明算法是有效的。对于非线性整规划的总极值问题缺 乏有效的算法,我们试图用填充函数法进行求解,在3.4中, 我们给出一个仅含一个参数的填充函数爪二,,二二’,P);在3.5中 给出另一个填充函数风二,,:;,,p,川,用它来求解非线性整规 划,数值结果表明算法是有效的。


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